В равнобедренном прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена медиана длиной 4√2. Найдите катеты равнобедренного прямоугольного треугольника.
В данной задаче необходимо найти длины катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, зная длину медианы, проведенной из прямого угла.
Обозначим катеты: Пусть катеты равнобедренного треугольника равны \( a \). Так как у нас прямоугольный треугольник, значит углы при основании равны 45 градусам.
Свойства медианы: Медиана, проведенная из прямого угла (в нашем случае из вершины прямого угла), делит гипотенузу на две равные части. Гипотенуза этого треугольника будет равна \( a\sqrt{2} \) (по теореме Пифагора). Медиана делит гипотенузу пополам, то есть длина одной части гипотенузы равна \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
Формула для медианы: Длина медианы \( m \), проведенной из прямого угла в прямоугольном треугольнике, вычисляется по формуле: \[ m = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \] В нашем случае, так как треугольник равнобедренный, \( a = b \), и гипотенуза \( c = a\sqrt{2} \), подставим это в формулу: \[ m = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2a^2 - (a\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^2 - 2a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
Дано: По условию задачи, длина медианы равна \( 4\sqrt{2} \), то есть \[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]
Решение уравнения: Умножим обе стороны на 2: \[ a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \] Теперь делим обе стороны на \( \sqrt{2} \): \[ a = 8 \]
Таким образом, длины катетов равнобедренного прямоугольного треугольника равны \( 8 \) единиц.
Ответ: Длины катетов равнобедренного прямоугольного треугольника — 8.
