Для решения задачи будем использовать формулу скалярного произведения векторов.
Скалярное произведение векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) можно выразить так:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)
]
где:
- (|\mathbf{a}|) и (|\mathbf{b}|) — длины векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}),
- (\theta) — угол между векторами (в нашем случае 60°),
- (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}).
Дано:
- Длина вектора (\mathbf{a}): (|\mathbf{a}| = 5\sqrt{3}),
- Угол между векторами: (\theta = 60^\circ),
- Скалярное произведение: (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 11\sqrt{3}).
Подставим данные в формулу:
[
11\sqrt{3} = (5\sqrt{3}) |\mathbf{b}| \cdot \frac{1}{2}
]
Теперь упростим это уравнение:
- Умножим обе стороны уравнения на 2:
[
2 \cdot 11\sqrt{3} = (5\sqrt{3}) |\mathbf{b}|
]
Это становится:
[
22\sqrt{3} = (5\sqrt{3}) |\mathbf{b}|
]
- Разделим обе стороны на (5\sqrt{3}):
[
|\mathbf{b}| = \frac{22\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}
]
Здесь (\sqrt{3}) сокращается:
[
|\mathbf{b}| = \frac{22}{5}
]
Таким образом, длина вектора (\mathbf{b}) равна (\frac{22}{5}).
Ответ: Длина вектора (\mathbf{b}) равна (\frac{22}{5}) (или 4.4).
