Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а косинус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты этого треугольника.

Решим задачу, используя свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию.

Дано:

• Гипотенуза \( c = 20 \, \text{см} \)
• Косинус одного из острых углов \( \cos(\alpha) = 0.8 \)

Из тригонометрии мы знаем, что: \[ \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \] где \( a \) — это прилежащий к углу \( \alpha \) катет, а \( c \) — гипотенуза.

Подставим известные значения в формулу для косинуса: \[ 0.8 = \frac{a}{20} \]

Теперь выразим катет \( a \): \[ a = 0.8 \times 20 = 16 \, \text{см} \]

Теперь найдём второй катет \( b \). Мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим известные значения: \[ 20^2 = 16^2 + b^2 \] Это показывает: \[ 400 = 256 + b^2 \] Теперь решим для \( b^2 \): \[ b^2 = 400 - 256 = 144 \]

Теперь найдём \( b \): \[ b = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} \]

Таким образом, катеты нашего прямоугольного треугольника:

• \( a = 16 \, \text{см} \) (прилежащий катет)
• \( b = 12 \, \text{см} \) (противолежащий катет)

Ответ:

Катеты треугольника равны 16 см и 12 см.