Давайте решим задачу о вероятности выпадения решки при броске монеты 7 раз, когда нужно узнать вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза.
Шаг 1: Определение проблемы
Мы имеем дело с биномиальным распределением, так как каждое бросание монеты — это независимый эксперимент с двумя возможными исходами: решка (успех) и орел (неудача).
Шаг 2: Формула вероятности
Вероятность того, что событие произойдет ( k ) раз в ( n ) испытаниях можно рассчитать по формуле:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать ( k ) успехов из ( n )),
- ( p ) — вероятность успеха (выпадения решки), равная ( 0.5 ),
- ( n ) — общее количество бросков,
- ( k ) — количество успехов.
Шаг 3: Подстановка значений
В нашей задаче:
- ( n = 7 ) (количество бросков),
- ( k = 2 ) (количество решек),
- ( p = 0.5 ).
Сначала вычислим ( \binom{n}{k} ):
[
\binom{n}{k} = \binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21
]
Теперь подставим все в формулу:
[
P(X = 2) = \binom{7}{2} (0.5)^2 (0.5)^{7-2}
]
[
P(X = 2) = 21 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^5 = 21 \cdot (0.5)^7
]
[
P(X = 2) = 21 \cdot \frac{1}{128} = \frac{21}{128}
]
Шаг 4: Преобразование в десятичный формат
Теперь вычислим значение:
[
\frac{21}{128} \approx 0.1640625
]
Шаг 5: Округление
Теперь округлим значение до сотых:
[
0.1640625 \approx 0.16
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что решка выпадет 2 раза при 7 бросках, составляет примерно 0.16.
