Маше задали 5 одинаковых по трудности задач. вероятность того что она каждую отдельную задачу, равна 0,7. найдите вероятность того, что Маша решит не менее 4 задач

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае:

• Обозначим \( n = 5 \) (общее количество задач).
• Обозначим \( p = 0,7 \) (вероятность того, что Маша решит одну задачу).
• Мы хотим найти вероятность того, что Маша решит не менее 4 задач. Это означает, что нам нужно найти \( P(X \geq 4) \), где \( X \) — это случайная величина, представляющая количество решенных Машей задач.

По формуле биномиального распределения вероятность того, что произойдет ровно \( k \) успехов из \( n \) испытаний, вычисляется как:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \) — это биномиальный коэффициент.

Для нас это означает, что нам нужно посчитать:

\[ P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) \]

Теперь вычислим каждую из этих вероятностей.

1. Вероятность, что Маша решит 4 задачи \( (P(X = 4)) \):

\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 \] \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{5 - 4} = 5 \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^1 \] Теперь вычислим: \[ (0.7)^4 = 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 0.2401 \] \[ (0.3)^1 = 0.3 \] Подставим эти значения: \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3 = 5 \cdot 0.07203 = 0.36015 \]

2. Вероятность, что Маша решит 5 задач \( (P(X = 5)) \):

\[ C(5, 5) = 1 \] \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot p^5 \cdot (1 - p)^{5 - 5} = 1 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^0 \] Теперь вычислим: \[ (0.7)^5 = 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 0.16807 \] \[ (0.3)^0 = 1 \] Поскольку \( C(5, 5) = 1 \): \[ P(X = 5) = 1 \cdot 0.16807 = 0.16807 \]

Теперь сложим вероятности:

\[ P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822 \]

Ответ:

Вероятность того, что Маша решит не менее 4 задач, составляет примерно 0,52822 или 52,82%.