Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае:
- Обозначим ( n = 5 ) (общее количество задач).
- Обозначим ( p = 0,7 ) (вероятность того, что Маша решит одну задачу).
- Мы хотим найти вероятность того, что Маша решит не менее 4 задач. Это означает, что нам нужно найти ( P(X \geq 4) ), где ( X ) — это случайная величина, представляющая количество решенных Машей задач.
По формуле биномиального распределения вероятность того, что произойдет ровно ( k ) успехов из ( n ) испытаний, вычисляется как:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} ) — это биномиальный коэффициент.
Для нас это означает, что нам нужно посчитать:
[
P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)
]
Теперь вычислим каждую из этих вероятностей.
1. Вероятность, что Маша решит 4 задачи ( (P(X = 4)) ):
[
C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5
]
[
P(X = 4) = C(5, 4) \cdot p^4 \cdot (1 - p)^{5 - 4} = 5 \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^1
]
Теперь вычислим:
[
(0.7)^4 = 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 0.2401
]
[
(0.3)^1 = 0.3
]
Подставим эти значения:
[
P(X = 4) = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3 = 5 \cdot 0.07203 = 0.36015
]
2. Вероятность, что Маша решит 5 задач ( (P(X = 5)) ):
[
C(5, 5) = 1
]
[
P(X = 5) = C(5, 5) \cdot p^5 \cdot (1 - p)^{5 - 5} = 1 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^0
]
Теперь вычислим:
[
(0.7)^5 = 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 0.16807
]
[
(0.3)^0 = 1
]
Поскольку ( C(5, 5) = 1 ):
[
P(X = 5) = 1 \cdot 0.16807 = 0.16807
]
Теперь сложим вероятности:
[
P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822
]
Ответ:
Вероятность того, что Маша решит не менее 4 задач, составляет примерно 0,52822 или 52,82%.
