Какой род, падеж, по дальней тропе

Род и падеж зависят от контекста предложения. Чтобы определить нужный род и падеж для слова "тропа", необходимо знать, как оно употребляется в предложении. Если вы имеете в виду "по дальней тропе" в значении "по дальней дороге", то "тропе" находится в предложном падеже, женского рода. Правильное написание будет: "по дальней тропе".