Найдите объём прямого параллелепипеда, если его основание имеет стороны 4 см и 5 см, утол между ними 45°, а боковые рёбра равны 8 см.

Для нахождения объёма прямого параллелепипеда (прямоугольного) используем следующую формулу:

\[ V = A \cdot h \]

где \( V \) — объём параллелепипеда, \( A \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Шаг 1: Найдём площадь основания

Основание параллелепипеда представляет собой трапецию, так как углы между сторонами не прямые. Для вычисления площади трапеции можно использовать формулу:

\[ A = \frac{(a + b)}{2} \cdot h_t \]

где:

• \( a \) и \( b \) — длины сторон (в нашем случае: 4 см и 5 см),
• \( h_t \) — высота трапеции.

Чтобы найти высоту трапеции (высоту основания), нам нужно использовать угол между сторонами. В данном случае угол между сторонами 4 см и 5 см равен 45°. Поскольку параллелепипед прямой, высота \( h_t \) будет равна длине одной из сторон, умноженной на синус угла.

Шаг 2: Найдём высоту основания

Введем обозначения:

• \( a = 4 \, \text{см} \)
• \( b = 5 \, \text{см} \)
• Угол между основаниями \( \theta = 45° \)

Находим высоту с помощью синуса:

\[ h_t = a \cdot \sin(\theta) = 4 \cdot \sin(45°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

Шаг 3: Теперь найдём площадь основания

Теперь подставим полученные значения в формулу площади:

\[ A = \frac{(4 + 5)}{2} \cdot h_t = \frac{9}{2} \cdot 2\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Шаг 4: Теперь найдём объём параллелепипеда

Теперь, когда у нас есть площадь основания, можем найти объём:

\[ V = A \cdot h = 9\sqrt{2} \cdot 8 \]

\[ V = 72\sqrt{2} \, \text{см}^3 \]

Ответ

Объём прямого параллелепипеда равен \( 72\sqrt{2} \, \text{см}^3 \).