Сумма двух натуральных чисел равна 19, а сумма квадратов этих чисел равна 185. Найди-те эти числа. В ответе укажите найденные числа без пробе-лов в порядке возрастания.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Мы знаем, что:
Сумма двух натуральных чисел \( x \) и \( y \) равна 19: \[ x + y = 19 \quad (1) \]
Сумма квадратов этих чисел равна 185: \[ x^2 + y^2 = 185 \quad (2) \]
Теперь давайте выразим \( y \) через \( x \) из уравнения (1): \[ y = 19 - x \quad (3) \]
Теперь подставим (3) в уравнение (2): \[ x^2 + (19 - x)^2 = 185 \]
Теперь раскроем скобки: \[ x^2 + (19^2 - 2 \cdot 19 \cdot x + x^2) = 185 \] \[ x^2 + (361 - 38x + x^2) = 185 \]
Теперь соберем все члены вместе: \[ 2x^2 - 38x + 361 - 185 = 0 \] \[ 2x^2 - 38x + 176 = 0 \]
Упростим это уравнение, разделив все члены на 2: \[ x^2 - 19x + 88 = 0 \]
Теперь мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -19 \), \( c = 88 \): \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9 \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{19 \pm 3}{2} \]
Итак, у нас есть два решения:
- \[ x_1 = \frac{22}{2} = 11 \]
- \[ x_2 = \frac{16}{2} = 8 \]
Теперь, применяя формулу (3), найдем \( y \):
- Если \( x = 11 \), то \( y = 19 - 11 = 8 \).
- Если \( x = 8 \), то \( y = 19 - 8 = 11 \).
Таким образом, два натуральных числа равны: 8 и 11. Поскольку требуется указать их в порядке возрастания, окончательный ответ:
8 11
