Давайте решим задачу шаг за шагом.
Мы знаем, что:
Сумма двух натуральных чисел ( x ) и ( y ) равна 19:
[
x + y = 19 \quad (1)
]
Сумма квадратов этих чисел равна 185:
[
x^2 + y^2 = 185 \quad (2)
]
Теперь давайте выразим ( y ) через ( x ) из уравнения (1):
[
y = 19 - x \quad (3)
]
Теперь подставим (3) в уравнение (2):
[
x^2 + (19 - x)^2 = 185
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 + (19^2 - 2 \cdot 19 \cdot x + x^2) = 185
]
[
x^2 + (361 - 38x + x^2) = 185
]
Теперь соберем все члены вместе:
[
2x^2 - 38x + 361 - 185 = 0
]
[
2x^2 - 38x + 176 = 0
]
Упростим это уравнение, разделив все члены на 2:
[
x^2 - 19x + 88 = 0
]
Теперь мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -19 ), ( c = 88 ):
[
D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9
]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x_{1,2} = \frac{19 \pm 3}{2}
]
Итак, у нас есть два решения:
- [
x_1 = \frac{22}{2} = 11
]
- [
x_2 = \frac{16}{2} = 8
]
Теперь, применяя формулу (3), найдем ( y ):
- Если ( x = 11 ), то ( y = 19 - 11 = 8 ).
- Если ( x = 8 ), то ( y = 19 - 8 = 11 ).
Таким образом, два натуральных числа равны: 8 и 11. Поскольку требуется указать их в порядке возрастания, окончательный ответ:
8 11
