в погребе хранилось несколько головок сыра.ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра,причём все съели поровну.следующей ночью пришли не все мышки,а только 11,и доели оставшийся…

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество головок сыра в начале задачи:
   Пусть в погребе изначально хранилось \( x \) головок сыра.

2. Первая ночь:
   Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра поровну. Обозначим количество мышек, пришедших в первую ночь, как \( n \). Тогда каждая мышка съела по \( \frac{10}{n} \) головок сыра.

3. Остаток сыра после первой ночи:
   После того, как мышки съели 10 головок, в погребе осталось
   \[ x - 10 \text{ головок сыра}. \]

4. Вторая ночь:
   На следующую ночь пришли только 11 мышек, и они доели остаток сыра. Каждая из этих мышек съела в 2 раза меньше, чем в первую ночь. Поэтому за каждую мышку во вторую ночь каждая съела по \( \frac{10}{n} / 2 = \frac{5}{n} \) головок сыра.

5. Общее количество съеденного сыра во вторую ночь:
   Поскольку 11 мышек съели по \( \frac{5}{n} \) головок сыра, тогда общее количество сыра, которое они съели, равно
   \[ 11 \cdot \frac{5}{n} = \frac{55}{n}. \]

6. Запишем уравнение для остатка сыра:
   Мы знаем, что эти 11 мышек съели весь оставшийся сыр, т.е.
   \[ x - 10 = \frac{55}{n}. \]

7. Теперь выразим \( n \):
   Из полученного уравнения можно выразить \( n \):
   \[ n = \frac{55}{x - 10}. \]

8. Теперь подставим \( n \) обратно в уравнение с количеством сыра.
   У нас есть \( n \) в том виде, в котором мы его записали. В самом начале мышки съели 10 головок сыра, потому что
   \[ n \cdot \frac{10}{n} = 10. \]

   Подставим \( n \) в это уравнение, чтобы избежать деления на ноль:
   \[ \frac{55}{x - 10} \cdot \frac{10}{\frac{55}{x - 10}} = 10, \] что упрощается и верно для \( n > 0 \).

9. Решаем второе уравнение:
   Давайте найдём \( x \) из первого уравнения, подставив \( n \):

   1. Возвращаемся к уравнению:
      \[ x - 10 = \frac{55}{n} \rightarrow x - 10 = \frac{55(x - 10)}{x - 10}, \] \[ x - 10 \cdot n = 55. \] Это уравнение позволяет нам выяснить \( x \) и \( n \).

10. Подставляем разные значения для \( n \)
    Мы можем попробовать подставить разные значения \( n \):

• Если \( n = 11 \), тогда: \[ x - 10 = 5, \] что даёт \( x = 15 \).

11. Проверка:
    Если изначально было 15 головок сыра, то в первую ночь мышки съели 10 (каждая по \( \frac{10}{11} \)). Осталось 5. В вторую ночь 11 мышек съели остаток, по \( \frac{5}{11} \) и, следовательно, 55/11 = 5 — верно.

Таким образом, изначально в погребе хранилось 15 головок сыра.