Вопрос от Анонимного юзера 28 марта 2025 13:38

Question 1

На промежутке (-2;-1) неравенство |x2-4| + |x+1| - 3>0 равносильно неравенству:

Answer

Для решения неравенства (|x^2 - 4| + |x + 1| - 3 > 0) на промежутке ((-2; -1)), мы будем выполнять следующие шаги.

Шаг 1: Упростим неравенство

Начнем с неравенства: [ |x^2 - 4| + |x + 1| - 3 > 0 ] Это можно переписать как: [ |x^2 - 4| + |x + 1| > 3 ]

Шаг 2: Разберём модуль (|x^2 - 4|)

Модуль (|x^2 - 4|) равен (4 - x^2) для значений (x) между (-2) и (2), так как в пределах нашего интервала ((-2; -1)) (x^2) будет меньше (4).

Шаг 3: Разберём модуль (|x + 1|)

Для интервала ((-2; -1)), (x + 1) будет отрицательным, так как:

при (x = -2), (x + 1 = -1)
при (x = -1), (x + 1 = 0)

Таким образом, на интервале ((-2; -1)): [ |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 ]

Шаг 4: Подставим упрощения в неравенство

Теперь подставим всё обратно в неравенство: [ 4 - x^2 - x - 1 > 3 ] Упростим это: [ 3 - x^2 - x > 3 ] Сократим обе стороны на (3): [ -x^2 - x > 0 ]

Шаг 5: Перепишем неравенство

Умножим на (-1) (не забывая поменять знак неравенства): [ x^2 + x < 0 ]

Шаг 6: Найдём корни уравнения

Корни уравнения (x^2 + x = 0) можно найти: [ x(x + 1) = 0 ] Корни: (x = 0) и (x = -1).

Шаг 7: Определим промежутки

Теперь мы проверяем знаки выражения (x^2 + x). Обозначим промежутки по найденным корням:

((-\infty, -1))
((-1, 0))
((0, +\infty))

Проверим знаки на промежутках:

Для (x < -1) (например, (x = -2)): ((-2)^2 - 2 = 4 - 2 > 0) (положительно)
Для (-1 < x < 0) (например, (x = -0.5)): ((-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 < 0) (отрицательно)
Для (x > 0) (например, (x = 1)): (1 + 1 > 0) (положительно)

Шаг 8: Запишем ответ

Таким образом, неравенство (x^2 + x < 0) выполняется на интервале ((-1; 0)).

Учитывая наши условия ((-2; -1)), неравенство (|x^2 - 4| + |x + 1| - 3 > 0) на данном промежутке эквивалентно неравенству: [ x^2 + x < 0 \text{ на } (-1; 0) ] Следовательно, искомое неравенство в промежутке ((-2; -1)) эквивалентно: [ x^2 + x < 0 ] на интервале, который включает значения между -1 и 0.

Question 2

на промежутке (-2;-1) неравенство |x2-4| + |x+1| - 3>0 равносильно неравенству:

Answer

Для решения неравенства \(|x^2 - 4| + |x + 1| - 3 > 0\) на промежутке \((-2; -1)\), мы будем выполнять следующие шаги. ### Шаг 1: Упростим неравенство Начнем с неравенства: \[ |x^2 - 4| + |x + 1| - 3 > 0 \] Это можно переписать как: \[ |x^2 - 4| + |x + 1| > 3 \] ### Шаг 2: Разберём модуль \(|x^2 - 4|\) Модуль \(|x^2 - 4|\) равен \(4 - x^2\) для значений \(x\) между \(-2\) и \(2\), так как в пределах нашего интервала \((-2; -1)\) \(x^2\) будет меньше \(4\). ### Шаг 3: Разберём модуль \(|x + 1|\) Для интервала \((-2; -1)\), \(x + 1\) будет отрицательным, так как: - при \(x = -2\), \(x + 1 = -1\) - при \(x = -1\), \(x + 1 = 0\) Таким образом, на интервале \((-2; -1)\): \[ |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 \] ### Шаг 4: Подставим упрощения в неравенство Теперь подставим всё обратно в неравенство: \[ 4 - x^2 - x - 1 > 3 \] Упростим это: \[ 3 - x^2 - x > 3 \] Сократим обе стороны на \(3\): \[ -x^2 - x > 0 \] ### Шаг 5: Перепишем неравенство Умножим на \(-1\) (не забывая поменять знак неравенства): \[ x^2 + x < 0 \] ### Шаг 6: Найдём корни уравнения Корни уравнения \(x^2 + x = 0\) можно найти: \[ x(x + 1) = 0 \] Корни: \(x = 0\) и \(x = -1\). ### Шаг 7: Определим промежутки Теперь мы проверяем знаки выражения \(x^2 + x\). Обозначим промежутки по найденным корням: 1. \((-\infty, -1)\) 2. \((-1, 0)\) 3. \((0, +\infty)\) Проверим знаки на промежутках: - Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \((-2)^2 - 2 = 4 - 2 > 0\) (положительно) - Для \(-1 < x < 0\) (например, \(x = -0.5\)): \((-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 < 0\) (отрицательно) - Для \(x > 0\) (например, \(x = 1\)): \(1 + 1 > 0\) (положительно) ### Шаг 8: Запишем ответ Таким образом, неравенство \(x^2 + x < 0\) выполняется на интервале \((-1; 0)\). Учитывая наши условия \((-2; -1)\), неравенство \(|x^2 - 4| + |x + 1| - 3 > 0\) на данном промежутке эквивалентно неравенству: \[ x^2 + x < 0 \text{ на } (-1; 0) \] Следовательно, искомое неравенство в промежутке \((-2; -1)\) эквивалентно: \[ x^2 + x < 0 \] на интервале, который включает значения между -1 и 0.