Для решения этой задачи мы используем метод составления системы уравнений. Обозначим:
- ( x ) — масса шестидесятипроцентного сплава никеля (в кг).
- ( y ) — масса восьмидесятипроцентного сплава никеля (в кг).
Шаг 1: Составим уравнение для общей массы.
Мы знаем, что нам нужно получить в итоге 10 кг сплава, поэтому:
[
x + y = 10
]
Шаг 2: Составим уравнение для содержания никеля.
Теперь учтем содержание никеля в каждом сплаве:
- В шестидесятипроцентном сплаве содержится 60% никеля, то есть ( 0.6x ) никеля.
- В восьмидесятипроцентном сплаве содержится 80% никеля, то есть ( 0.8y ) никеля.
После смешивания сплавов мы получаем 10 кг сплава с содержанием 75% никеля, что соответствует ( 0.75 \cdot 10 = 7.5 ) кг никеля.
Теперь мы можем записать второе уравнение:
[
0.6x + 0.8y = 7.5
]
Шаг 3: Решение системы уравнений.
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( x + y = 10 )
- ( 0.6x + 0.8y = 7.5 )
Из первого уравнения выразим ( y ):
[
y = 10 - x
]
Подставим ( y ) во второе уравнение:
[
0.6x + 0.8(10 - x) = 7.5
]
Раскроем скобки:
[
0.6x + 8 - 0.8x = 7.5
]
Объединим подобные члены:
[
-0.2x + 8 = 7.5
]
Переносим 8 в правую сторону:
[
-0.2x = 7.5 - 8
]
[
-0.2x = -0.5
]
Умножаем обе стороны на -1 и делим на 0.2:
[
x = \frac{0.5}{0.2} = 2.5
]
Теперь, когда мы нашли ( x ), подставим его обратно, чтобы найти ( y ):
[
y = 10 - 2.5 = 7.5
]
Шаг 4: Ответ.
Следовательно, для получения 10 кг 75% сплава никеля нужно взять:
- 2.5 кг шестидесятипроцентного сплава,
- 7.5 кг восьмидесятипроцентного сплава.
Таким образом, ответ: 2.5 кг 60%-го сплава и 7.5 кг 80%-го сплава.
