В треугольнике  A B C ABC стороны  A B AB и  A C AC равны. На стороне  A C AC взяли точки  X X и  Y Y так, что точка  X X лежит между точками  A A и  Y Y и  A X = B X = B Y AX=BX=BY. Найди величину угла  C B Y CBY, если  ∠ B Y C = 9 6 ∘ ∠BYC=96 ∘ .

Давайте решим задачу пошагово и рассмотрим все необходимые аспекты. ### Дано: - Треугольник \( ABC \) с равными сторонами \( AB = AC \) (треугольник равнобедренный). - На стороне \( AC \) выбраны точки \( X \) и \( Y\) так, что \( X \) между \( A \) и \( Y \), и \( AX = BX = BY \). - Дано, что угол \( \angle BYC = 96^\circ \). ### Необходимо найти: - Угол \( \angle CBY \). ### Решение: 1. **Обозначения:** - Обозначим \( AX = BX = BY = x \). - Поскольку \( AB = AC \), треугольник \( ABC \) является равнобедренным, и, по свойствам равнобедренного треугольника, углы \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \) равны. 2. **Определение углов в треугольнике:** - Обозначим \( \angle ABC = \angle ACB = \alpha \). - Угол \( \angle BAC = 180^\circ - 2\alpha \). 3. **Работаем с \( \triangle BYC \):** - Из условия известно, что \( \angle BYC = 96^\circ \). - Обозначим угол \( \angle CBY = \beta \). - В треугольнике \( BYC \) сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle BYC + \angle CBY + \angle CBY = 180^\circ \] \[ 96^\circ + \beta + \angle YBC = 180^\circ \] 4. **Найдем угол \( \angle YBC \)**: - Угол \( \angle YBC \) является внешним углом для треугольника \( ABY \): \[ \angle YBC = \angle ABY + \angle ABy = \angle ACB + \angle YBA \] - Однако нам нужно извлечь \( \beta \) вручную. Для этого снова воспользуемся суммой углов в треугольнике \( BYC \): \[ \angle CBY = 180^\circ - 96^\circ - \angle YBC \] 5. **Параллельные и равноудаленные углы:** - Заметим, что \( AX \) и \( BY\) равны, значит углы \( \angle YBX \) и \( \angle CBY\) равны, поскольку они образованы на одной стороне \( AC \) и через точку \( Y\). 6. **Получаем значение:** \[ 180^\circ - 96^\circ - \beta = \beta \] Сложим термина: \[ 180^\circ - 96^\circ = 2\beta \Rightarrow 84^\circ = 2\beta \Rightarrow \beta = 42^\circ \] ### Ответ: Угол \( \angle CBY = 42^\circ\).