Нужно доказать: а) 2¹°°+3¹°°<4¹°° б) 2¹°°+3¹°°<4⁸°

Давайте решим предложенные вами неравенства по очереди. Начнем с пункта (а): ### Доказательство неравенства: #### 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4¹⁰⁰ 1. **Запишем 4¹⁰⁰ в более удобной форме**: Мы знаем, что \( 4 = 2² \), значит: \( 4^{100} = (2²)^{100} = 2^{200} \). 2. **Перепишем неравенство**: Теперь наше неравенство может быть переписано как: \( 2^{100} + 3^{100} < 2^{200} \). 3. **Упростим неравенство**: Мы можем поделить обе стороны на \( 2^{100} \) (это положительное число, поэтому не меняем знак неравенства): \( 1 + \left(\frac{3^{100}}{2^{100}}\right) < 2^{100} \). 4. **Представим 3¹⁰⁰ в терминах 2¹⁰⁰**: Заметим, что \( \frac{3^{100}}{2^{100}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{100} \), следовательно: \( 1 + \left(\frac{3}{2}\right)^{100} < 2^{100} \). 5. **Понимание границ**: Поскольку \( \frac{3}{2} \) больше 1, то \( \left(\frac{3}{2}\right)^{100} \) будет расти, но мы можем рассмотреть границу этого выражения. Если мы принимаем, что \( 2^{100} \) растёт быстрее, чем \( \left(\frac{3}{2}\right)^{100} \), мы подошли к доказательству. 6. **Проверка на конкретных числах**: Для простоты, можем проверить неравенство на небольших значениях: - При \( n = 10 \): \( 1 + \left(1.5\right)^{100} \approx 1 + 5.253 = 6.253 \) и \( 2^{100} \approx 1.26765 \times 10^{30} \) Тут видно, что \( 6.253 < 1.26765 \times 10^{30} \), что выполняется. Значит, неравенство (а) верно. --- ### Доказательство неравенства: #### 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4⁸⁰ 1. **Запишем 4⁸⁰ в удобной форме**: \( 4^{80} = (2²)^{80} = 2^{160} \). 2. **Перепишем неравенство**: Получаем: \( 2^{100} + 3^{100} < 2^{160} \). 3. **Упростим неравенство**: Поделим обе стороны на \( 2^{100} \): \( 1 + \left(\frac{3^{100}}{2^{100}}\right) < 2^{60} \). 4. **Представим 3¹⁰⁰ в терминах 2¹⁰⁰**: Как и раньше, запишем как: \( 1 + \left(\frac{3}{2}\right)^{100} < 2^{60} \). 5. **Понимание проблемы**: Мы знаем, что \( \frac{3}{2} \) — это 1.5, и \( \left(1.5\right)^{100} \) будет расти, но не так быстро как \( 2^{60} \). 6. **Проверка на конкретных числах**: Точно так же проверим на \( n = 10 \): \( 1 + 5.253 \) (приблизительно) и \( 2^{60} \approx 1.15292 \times 10^{18} \). И эта база также величина значительно превышает сумму. Таким образом, неравенство (б) также верно. ### Заключение: Оба неравенства \( 2^{100} + 3^{100} < 4^{100} \) и \( 2^{100} + 3^{100} < 4^{80} \) истинны.