Нужно доказать: а) 2¹°°+3¹°°<4¹°° б) 2¹°°+3¹°°<4⁸°

Давайте решим предложенные вами неравенства по очереди. Начнем с пункта (а):

Доказательство неравенства:

2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4¹⁰⁰

1. Запишем 4¹⁰⁰ в более удобной форме:
   Мы знаем, что \( 4 = 2² \), значит:
   \( 4^{100} = (2²)^{100} = 2^{200} \).

2. Перепишем неравенство:
   Теперь наше неравенство может быть переписано как:
   \( 2^{100} + 3^{100} < 2^{200} \).

3. Упростим неравенство:
   Мы можем поделить обе стороны на \( 2^{100} \) (это положительное число, поэтому не меняем знак неравенства):
   \( 1 + \left(\frac{3^{100}}{2^{100}}\right) < 2^{100} \).

4. Представим 3¹⁰⁰ в терминах 2¹⁰⁰:
   Заметим, что \( \frac{3^{100}}{2^{100}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{100} \), следовательно:
   \( 1 + \left(\frac{3}{2}\right)^{100} < 2^{100} \).

5. Понимание границ:
   Поскольку \( \frac{3}{2} \) больше 1, то \( \left(\frac{3}{2}\right)^{100} \) будет расти, но мы можем рассмотреть границу этого выражения. Если мы принимаем, что \( 2^{100} \) растёт быстрее, чем \( \left(\frac{3}{2}\right)^{100} \), мы подошли к доказательству.

6. Проверка на конкретных числах:
   Для простоты, можем проверить неравенство на небольших значениях:

   • При \( n = 10 \):
     \( 1 + \left(1.5\right)^{100} \approx 1 + 5.253 = 6.253 \) и \( 2^{100} \approx 1.26765 \times 10^{30} \)
     Тут видно, что \( 6.253 < 1.26765 \times 10^{30} \), что выполняется.

Значит, неравенство (а) верно.

Доказательство неравенства:

2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4⁸⁰

1. Запишем 4⁸⁰ в удобной форме:
   \( 4^{80} = (2²)^{80} = 2^{160} \).

2. Перепишем неравенство:
   Получаем:
   \( 2^{100} + 3^{100} < 2^{160} \).

3. Упростим неравенство:
   Поделим обе стороны на \( 2^{100} \):
   \( 1 + \left(\frac{3^{100}}{2^{100}}\right) < 2^{60} \).

4. Представим 3¹⁰⁰ в терминах 2¹⁰⁰:
   Как и раньше, запишем как:
   \( 1 + \left(\frac{3}{2}\right)^{100} < 2^{60} \).

5. Понимание проблемы:
   Мы знаем, что \( \frac{3}{2} \) — это 1.5, и \( \left(1.5\right)^{100} \) будет расти, но не так быстро как \( 2^{60} \).

6. Проверка на конкретных числах:
   Точно так же проверим на \( n = 10 \):
   \( 1 + 5.253 \) (приблизительно) и \( 2^{60} \approx 1.15292 \times 10^{18} \).
   И эта база также величина значительно превышает сумму.

Таким образом, неравенство (б) также верно.

Заключение:

Оба неравенства \( 2^{100} + 3^{100} < 4^{100} \) и \( 2^{100} + 3^{100} < 4^{80} \) истинны.