В группе из 30 студентов, сдающих зачёт, 15 отличников выучили все вопросы, пятеро студентов-хорошистов выучили 20 вопросов из 25, пятеро студентов-троечников выучили 15 вопросов из 25, а остальные (отстающие) выучили только 10 вопросов. Наугад вызванный студент не ответил на вопрос. Найдите вероятности, что этот студент: отстающий Ответ 1 хорошист Ответ 2 троечник Ответ 3 отличник

Давайте сначала определим, сколько студентов в каждой категории: 1. **Отличники**: 15 студентов (выучили все вопросы). 2. **Хорошисты**: 5 студентов (выучили 20 вопросов из 25). 3. **Троечники**: 5 студентов (выучили 15 вопросов из 25). 4. **Отстающие**: Всего студентов в группе 30. Студентов, уже упомянутых, 15 (отличники) + 5 (хорошисты) + 5 (троечники) = 25. Следовательно, отстающих 30 - 25 = 5 студентов (выучили 10 вопросов). Теперь отразим это в таблице: - Отличники: 15 - Хорошисты: 5 - Троечники: 5 - Отстающие: 5 Теперь давайте подсчитаем количество "неответов" в каждой категории: 1. Отличник: Вероятность, что отличник не ответит на вопрос, равна 0. 2. Хорошист: Вероятность, что хорошист не ответит на вопрос (выучили 20 из 25) = 5/25 = 1/5 (так как есть 5 вопросов, которые он не знает). 3. Троечник: Вероятность, что троечник не ответит на вопрос (выучили 15 из 25) = 10/25 = 2/5. 4. Отстающий: Вероятность, что отстающий не ответит на вопрос (выучили 10 из 25) = 15/25 = 3/5. Теперь найдем общую вероятность неответа на вопрос среди всех студентов: \[ P(\text{не ответил}) = P(\text{не ответил | отличный}) \cdot P(\text{отличный}) + P(\text{не ответил | хороший}) \cdot P(\text{хороший}) + P(\text{не ответил | троечник}) \cdot P(\text{троечник}) + P(\text{не ответил | отстающий}) \cdot P(\text{отстающий}) \] \[ P(\text{не ответил}) = 0 \cdot \frac{15}{30} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{30} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{30} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{30} \] Теперь посчитаем каждую часть: - Отличник: \(0 \cdot \frac{15}{30} = 0\) - Хорошист: \(\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{30} = \frac{1}{30}\) - Троечник: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}\) - Отстающий: \(\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}\) Складываем их: \[ P(\text{не ответил}) = 0 + \frac{1}{30} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10} \] Приведём к общему знаменателю (30): \[ P(\text{не ответил}) = 0 + \frac{1}{30} + \frac{2}{30} + \frac{3}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \] Теперь мы можем найти вероятность того, что студент отстающий, хорошист, троечник или отличник, который не ответил на вопрос: 1. Вероятность, что это отстающий: \[ P(\text{отстающий | не ответил}) = \frac{P(\text{не ответил | отстающий}) \cdot P(\text{отстающий})}{P(\text{не ответил})} = \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{\frac{3}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{3}{30} \cdot \frac{5}{1} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \] Ответ 1: \(\frac{1}{2}\) 2. Вероятность, что это хорошист: \[ P(\text{хорошист | не ответил}) = \frac{P(\text{не ответил | хороший}) \cdot P(\text{хороший})}{P(\text{не ответил})} = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{30} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \] Ответ 2: \(\frac{1}{6}\) 3. Вероятность, что это троечник: \[ P(\text{троечник | не ответил}) = \frac{P(\text{не ответил | троечник}) \cdot P(\text{троечник})}{P(\text{не ответил})} = \frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{\frac{2}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{2}{30} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \] Ответ 3: \(\frac{1}{3}\) 4. Вероятность, что это отличник строго равна \(0\), так как отличник не мог не ответить на вопрос. Если подводить итоги, мы получили следующие вероятности: - Ответ 1 (отстающий): \(\frac{1}{2}\) - Ответ 2 (хорошист): \(\frac{1}{6}\) - Ответ 3 (троечник): \(\frac{1}{3}\) - Ответ 4 (отличник): \(0\)