В группе из 30 студентов, сдающих зачёт, 15 отличников выучили все вопросы, пятеро студентов-хорошистов выучили 20 вопросов из 25, пятеро студентов-троечников выучили 15 вопросов…

Давайте сначала определим, сколько студентов в каждой категории:

1. Отличники: 15 студентов (выучили все вопросы).
2. Хорошисты: 5 студентов (выучили 20 вопросов из 25).
3. Троечники: 5 студентов (выучили 15 вопросов из 25).
4. Отстающие: Всего студентов в группе 30. Студентов, уже упомянутых, 15 (отличники) + 5 (хорошисты) + 5 (троечники) = 25. Следовательно, отстающих 30 - 25 = 5 студентов (выучили 10 вопросов).

Теперь отразим это в таблице:

• Отличники: 15
• Хорошисты: 5
• Троечники: 5
• Отстающие: 5

Теперь давайте подсчитаем количество "неответов" в каждой категории:

1. Отличник: Вероятность, что отличник не ответит на вопрос, равна 0.
2. Хорошист: Вероятность, что хорошист не ответит на вопрос (выучили 20 из 25) = 5/25 = 1/5 (так как есть 5 вопросов, которые он не знает).
3. Троечник: Вероятность, что троечник не ответит на вопрос (выучили 15 из 25) = 10/25 = 2/5.
4. Отстающий: Вероятность, что отстающий не ответит на вопрос (выучили 10 из 25) = 15/25 = 3/5.

Теперь найдем общую вероятность неответа на вопрос среди всех студентов:

\[ P(\text{не ответил}) = P(\text{не ответил | отличный}) \cdot P(\text{отличный}) + P(\text{не ответил | хороший}) \cdot P(\text{хороший}) + P(\text{не ответил | троечник}) \cdot P(\text{троечник}) + P(\text{не ответил | отстающий}) \cdot P(\text{отстающий}) \]

\[ P(\text{не ответил}) = 0 \cdot \frac{15}{30} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{30} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{30} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{30} \]

Теперь посчитаем каждую часть:

• Отличник: \(0 \cdot \frac{15}{30} = 0\)
• Хорошист: \(\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{30} = \frac{1}{30}\)
• Троечник: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}\)
• Отстающий: \(\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}\)

Складываем их:

\[ P(\text{не ответил}) = 0 + \frac{1}{30} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10} \]

Приведём к общему знаменателю (30):

\[ P(\text{не ответил}) = 0 + \frac{1}{30} + \frac{2}{30} + \frac{3}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \]

Теперь мы можем найти вероятность того, что студент отстающий, хорошист, троечник или отличник, который не ответил на вопрос:

1. Вероятность, что это отстающий: \[ P(\text{отстающий | не ответил}) = \frac{P(\text{не ответил | отстающий}) \cdot P(\text{отстающий})}{P(\text{не ответил})} = \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{\frac{3}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{3}{30} \cdot \frac{5}{1} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \]

Ответ 1: \(\frac{1}{2}\)

2. Вероятность, что это хорошист: \[ P(\text{хорошист | не ответил}) = \frac{P(\text{не ответил | хороший}) \cdot P(\text{хороший})}{P(\text{не ответил})} = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{30} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \]

Ответ 2: \(\frac{1}{6}\)

3. Вероятность, что это троечник: \[ P(\text{троечник | не ответил}) = \frac{P(\text{не ответил | троечник}) \cdot P(\text{троечник})}{P(\text{не ответил})} = \frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{\frac{2}{30}}{\frac{1}{5}} = \frac{2}{30} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \]

Ответ 3: \(\frac{1}{3}\)

4. Вероятность, что это отличник строго равна \(0\), так как отличник не мог не ответить на вопрос.

Если подводить итоги, мы получили следующие вероятности:

• Ответ 1 (отстающий): \(\frac{1}{2}\)
• Ответ 2 (хорошист): \(\frac{1}{6}\)
• Ответ 3 (троечник): \(\frac{1}{3}\)
• Ответ 4 (отличник): \(0\)