Дана бесконечная последовательность чисел x_{1}, x_{2}, x_{3} ,...,x k ,...(k in mathbb N ) в которой при каждом к член последовательности x_{k} является корнем уравнения x ^ 2 - 2 * 3 ^ k * x + 9 ^ k = 0 1. Найдите наибольший порядковый номер к члена последовательности такой, что в десятичной записи числа х использу- ется не более семи цифр. 2. Укажите наименьшее натуральное число N, среди делителей которого содер- жится ровно 8 членов данной последова- тельности. 3. Существует ли такое натуральное число п, что сумма п идущих подряд членов этой последовательности равна не- которому члену этой последовательности. 4. Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что ни- какая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.
На картинке видно задачи по математике. Представляют интерес четыре вопроса, связанных с бесконечной последовательностью чисел \(x_1, x_2, x_3, ..., x_k, ... (k \in \mathbb{N})\), которые являются решениями квадратных уравнений вида \(x^2 - 2\cdot3^k\cdot x + 9^k = 0\). Теперь разберем каждый из вопросов по порядку.
Для нахождения наибольшего порядкового номера \(k\), такого что в десятичной записи числа \(x\) используется не более семи цифр, рассмотрим дискриминант данного квадратного уравнения: \(D = (2\cdot3^k)^2 - 4 \cdot 9^k = 4\cdot9^k - 4\cdot9^k = 0\). Значит, уравнение имеет один корень \(x = 3^k\). Чтобы корень имел не более семи цифр, \(3^k\) должен быть меньше \(10^7\). Подберем такое \(k\), начиная с приближенного значения \(k \log_{10}(3) < 7\), то есть \(k < \frac{7}{\log_{10}(3)}\). Округлив в меньшую сторону, получим максимальное значение \(k\).
Для нахождения наименьшего натурального числа \(N\), нужно разобраться, какие последовательные степени тройки могут быть делителями одного числа. Это условие выполнимо, если (N=3^{k_1} \cdot 3^{k_2} \cdot ... \
