4 cos4 𝑥 − 4 cos2 𝑥 + 1 = 0.

Цель: Понять

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими преобразованиями, чтобы свести его к квадратному уравнению.

1. Заметим, что уравнение имеет вид \(4\cos^4(x) - 4\cos^2(x) + 1 = 0\).

2. Введем новую переменную, обозначим \(\cos^2(x) = y\). Теперь уравнение примет вид \(4y^2 - 4y + 1 = 0\).

3. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) и формулу корней квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

   \(a = 4, b = -4, c = 1\)
   \(D = (-4)^2 - 4*4*1 = 16 - 16 = 0\)
   \(y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2*4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

4. Получили, что \(\cos^2(x) = \frac{1}{2}\).
   Следовательно, \(\cos(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).

5. Таким образом, получаем два решения для уравнения \(4\cos^4(x) - 4\cos^2(x) + 1 = 0\):

   \(\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   или
   \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Эти решения могут быть проверены подставив их обратно в исходное уравнение.