Давайте разберемся с предложениями и определим, куда нужно добавить запятые. Я объясню каждое предложение и укажу место, где стоит поставить запятую.
Поднявшись на крышу, Олег увидел великолепную панораму города, открывшуюся его взору.
- Запятая после "крыша" нужна, потому что "поднявшись на крышу" — это вводное обстоятельственное выражение.
Наталья знала, что, поехав на море, отец (не)забудет привести ей (чего)нибудь интересного.
- Запятая после "что" добавляется, так как "поехав на море" — это обстоятельственное придаточное предложение.
В ровато оглянувшись, кошка шмыгнула за угол дома.
- В данном предложении запятые лишние не нужны. Всё правильно.
Бабушка, услышав (не)ожиданные новости, разволновалась.
- Запятые ставятся вокруг оборота "услышав (не)ожиданные новости", так как это пояснительный оборот.
Она работала, спустя рукава.
- Запятая здесь нужна, чтобы выделить обстоятельственный оборот "спустя рукава".
Петербург, старинный русский город, славится историческими памятниками.
- Запятые ставятся вокруг определения "старинный русский город", так как оно уточняет, какой город имеется в виду.
Меня неисправимого оптимиста, вряд ли, (что)то может расстроить.
- Запятые нужны вокруг вводного выражения "вряд ли".
Утомлённый тренировкой в спортзале, я медленно шёл домой.
- Запятая после "тренировкой в спортзале" нужна, так как это обстоятельственный оборот перед подлежащим.
Теперь у нас есть полное понимание, где нужно добавить запятые в предложениях.