Диаметр окружности с центром O равен 12 см. Найди расстояние от точки O до хорды KM, если угол KIM=120°
Чтобы решить задачу, давайте используем некоторые геометрические свойства окружности и треугольников. Нам даны следующие данные:
- Диаметр окружности равен 12 см.
- Угол \( KIM = 120^\circ \).
- Нам нужно найти расстояние от центра окружности \( O \) до хорды \( KM \).
Шаг 1: Находим радиус окружности
Так как диаметр окружности равен 12 см, радиус \( r \) будет равен половине диаметра:
\[ r = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см} \]
Шаг 2: Определяем углы и треугольник
Угол \( KIM \) — это угол, образованный радиусами \( OK \) и \( OM \), проведенными к концам хорды \( KM \). В этом случае, точка \( I \) — это проекция точки \( O \) на хорду \( KM \).
Шаг 3: Находим угол \( OIK \)
По свойству окружности угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, который его опирается. Следовательно, угол \( OIK \) будет равен:
\[ OIK = \frac{KIM}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \]
Шаг 4: Применяем синус
Теперь мы можем использовать треугольник \( OIK \). В нем:
- \( OI \) — это искомое расстояние от центра до хорды \( KM \).
- \( OK \) — это радиус окружности, равный 6 см.
- Угол \( OIK = 60^\circ \).
Мы можем использовать соотношение в прямоугольном треугольнике:
\[ \cos(OIK) = \frac{OI}{OK} \]
Отсюда, расстояние \( OI \) будет равно:
\[ OI = OK \cdot \cos(OIK) \]
Подставим значения:
\[ OI = 6 \cdot \cos(60^\circ) \]
Зная, что \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), получаем:
\[ OI = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см} \]
Ответ
Таким образом, расстояние от точки \( O \) до хорды \( KM \) равно 3 см.
