4.5.2. В сосуде емкостью 10 л находится метан массой 2 кг. Найдите давление метана на стенки сосуда, если его температура 15 °C.
Для решения задачи о давлении метана в сосуде воспользуемся уравнением состояния идеального газа, которое записывается в следующем виде:
\[ PV = nRT \]
где:
- \( P \) — давление газа,
- \( V \) — объем газа (в литрах),
- \( n \) — количество вещества в молях,
- \( R \) — универсальная газовая постоянная (приблизительно 8.31 Дж/(моль·К)),
- \( T \) — температура в Кельвинах.
Шаг 1: Преобразование данных
Переведём температуру в Кельвины: \[ T(K) = T(°C) + 273.15 = 15 + 273.15 = 288.15 \text{ K} \]
Посчитаем количество вещества \( n \) в молях: Для этого нам нужно знать molar mass (молярную массу) метана (CH₄). Она приблизительно равна 16 г/моль (12 г/моль для углерода и 4 г/моль для водорода).
Переведем массу метана из килограммов в граммы: \[ m = 2 \text{ kg} = 2000 \text{ g} \]
Теперь найдём количество вещества \( n \): \[ n = \frac{m}{M} = \frac{2000 \text{ g}}{16 \text{ g/mol}} = 125 \text{ mol} \]
Шаг 2: Подстановка в уравнение состояния идеального газа
Теперь, имея все значения, подставим их в уравнение:
Объем \( V \) в литрах: \[ V = 10 \text{ l} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 0.01 \text{ m}^3 \quad (\text{нужно перевести в м}^3) \]
Подставляем в уравнение: \[ P \cdot V = nRT \] \[ P = \frac{nRT}{V} \]
Подставим значения: \[ P = \frac{125 \text{ mol} \cdot 8.31 \text{ J/(mol·K)} \cdot 288.15 \text{ K}}{0.01 \text{ m}^3} \]
Шаг 3: Вычисление давления
Теперь проведем вычисления:
Вычислим числитель: \[ nRT = 125 \cdot 8.31 \cdot 288.15 \approx 3,053,190.56 \text{ J} \]
Теперь найдем \( P \): \[ P = \frac{3,053,190.56 \text{ J}}{0.01 \text{ m}^3} \approx 305,319,056 \text{ Pa} = 305.32 \text{ MPa} \]
Шаг 4: Ответ
Давление метана на стенки сосуда составляет приблизительно \( 305.32 \text{ MPa} \).
