Реши примеры

Задачи, представленные на изображении, относятся к теме дифференцирования функций. Рассмотрим решение каждой из них отдельно.

1. \( f(x) = 1.8x^2 - 5x + 12 \)

   Дифференцируем полином: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1.8x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(12) = 3.6x - 5 \]

2. \( f(x) = (x^2 + 5)^2 \)

   Используем правило цепочки и правило для степени: \[ f'(x) = 2(x^2 + 5) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2(x^2 + 5)(2x) = 4x(x^2 + 5) \]

3. \( f(x) = \frac{2x}{\text{arcctg } x} \)

   Используем правило частного и производную арккотангенса: \[ f'(x) = \frac{(\text{arcctg } x)' \cdot 2x - (2x)' \cdot \text{arcctg } x}{(\text{arcctg } x)^2} \]

   Производная арккотангенса: \[ (\text{arcctg } x)' = -\frac{1}{1+x^2} \]

   Таким образом: \[ f'(x) = \frac{-\frac{1}{1+x^2} \cdot 2x - 2 \cdot \text{arcctg } x}{(\text{arcctg } x)^2} = \frac{-\frac{2x}{1+x^2} - 2 \cdot \text{arcctg } x}{(\text{arcctg } x)^2} \]

4. \( f(x) = x \sin x^x \)

   Это сложная функция, и её дифференцирование требует использования правила произведения и цепочки. Для задачи потребовались бы более сложные выражения и правила.

5. \( f(x) = \tan(x^2 + 1) \)

   Используем правило цепочки и производную тангенса: \[ f'(x) = \sec^2(x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \sec^2(x^2 + 1) \cdot 2x \]

6. \( f(x) = \frac{\cos x}{8x} \)

   Используем правило частного: \[ f'(x) = \frac{(8x)(-\sin x) - \cos x \cdot 8}{(8x)^2} = \frac{-8x \sin x - 8\cos x}{64x^2} = \frac{-x \sin x - \cos x}{8x^2} \]

7. \( f(x) = \log(x^2 + 1) \)

   Используем правило цепочки и производную логарифма: \[ f'(x) = \frac{1}{(x^2 + 1) \ln 10} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 1) \ln 10} \]

8. \( f(x) = \cos 2x \cdot \arccos x \)

   Используем правило произведения и цепочки:

   Для \( \cos 2x \): \[ (\cos 2x)' = -2\sin 2x \]

   Для \( \arccos x \): \[ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

   Соответственно, комбинируем: \[ f'(x) = (\cos 2x)' \cdot \arccos x + (\arccos x)' \cdot \cos 2x = -2\sin 2x \cdot \arccos x - \frac{\cos 2x}{\sqrt{1-x^2}} \]

9. \( f(x) = \ln^2 x \)

   Используем правило цепочки: \[ f'(x) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x} \]

Каждое из этих решений демонстрирует использование базовых правил дифференцирования: правило суммы, произведения, частного и цепочки.