Даны векторы a=(-20;10;-15) и b(k;-2;3). При каком значении k векторы a и b перпеникулярны?

Чтобы определить, при каком значении \( k \) векторы \( \mathbf{a} = (-20, 10, -15) \) и \( \mathbf{b} = (k, -2, 3) \) являются перпендикулярными, нам нужно использовать свойство, что два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]

Подставим значения:

• \( a_1 = -20 \), \( a_2 = 10 \), \( a_3 = -15 \)
• \( b_1 = k \), \( b_2 = -2 \), \( b_3 = 3 \)

Тогда скалярное произведение будет:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-20) \cdot k + 10 \cdot (-2) + (-15) \cdot 3 \]

Теперь вычислим каждое слагаемое:

1. \( (-20) \cdot k = -20k \)
2. \( 10 \cdot (-2) = -20 \)
3. \( (-15) \cdot 3 = -45 \)

Соберем все вместе:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 20 - 45 \]

Упрощаем:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 65 \]

Для того чтобы векторы были перпендикулярны, нам нужно, чтобы скалярное произведение было равно нулю:

\[ -20k - 65 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ -20k = 65 \]

Теперь разделим обе стороны на -20:

\[ k = -\frac{65}{20} = -3.25 \]

Таким образом, векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будут перпендикулярны при \( k = -3.25 \).