Даны векторы a=(-20;10;-15) и b(k;-2;3). При каком значении k векторы a и b перпеникулярны?

Чтобы определить, при каком значении \( k \) векторы \( \mathbf{a} = (-20, 10, -15) \) и \( \mathbf{b} = (k, -2, 3) \) являются перпендикулярными, нам нужно использовать свойство, что два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \] Подставим значения: - \( a_1 = -20 \), \( a_2 = 10 \), \( a_3 = -15 \) - \( b_1 = k \), \( b_2 = -2 \), \( b_3 = 3 \) Тогда скалярное произведение будет: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-20) \cdot k + 10 \cdot (-2) + (-15) \cdot 3 \] Теперь вычислим каждое слагаемое: 1. \( (-20) \cdot k = -20k \) 2. \( 10 \cdot (-2) = -20 \) 3. \( (-15) \cdot 3 = -45 \) Соберем все вместе: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 20 - 45 \] Упрощаем: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 65 \] Для того чтобы векторы были перпендикулярны, нам нужно, чтобы скалярное произведение было равно нулю: \[ -20k - 65 = 0 \] Решим это уравнение: \[ -20k = 65 \] Теперь разделим обе стороны на -20: \[ k = -\frac{65}{20} = -3.25 \] Таким образом, векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будут перпендикулярны при \( k = -3.25 \).