Чтобы понять, какие слова в данных предложениях являются союзами, необходимо иметь представление о том, что такое союз и как он функционирует в предложении.
Союз — это служебная часть речи, которая соединяет однородные члены предложения, вводит придаточные предложения или объединяет сложные предложения.
Теперь посмотрим на каждое из предложений и выделим союзы:
Встретиться нам не удавалось, за(то) письма приходили постоянно.
- В этом предложении "за" (частично) используется как вводное слово и "то" является частицей, выделяющей контраст. Вместе образуют оборот, но не действуют как союз.
Что(бы) вам подарить на Новый год?
- "Чтобы" — это союз, который вводит придаточное предложение цели: что требуется, чтобы сделать что-то.
Серёжа то(же) выучил стихотворение.
- "Тоже" — это наречие, используемое для указания на однородность. Не является союзом.
Небо хмурилось так(же), как и вчера.
- "Как" — это союз, который указывает на сравнение. "И" также является союзом, соединяющим элементы.
Что(бы) много знать, надо мало спать.
- "Чтобы" — это союз, указывающий на цель (т.е., чтобы много знать, необходимо что-то сделать).
Стены были так(же) украшены коврами, как и диван.
- Здесь "как" — союз для сравнения, аналогично предыдущему. "И" также используется для соединения частей.
Молодые сыны то(же) самое говорили.
- "Тоже" является наречием, а не союзом.
Ты то(же) готовишься к конкурсу?
- "Тоже" — это также наречие, обозначающее однородность, но не союз.
Теперь подведем итоги. Выделенные слова, являющиеся союзами:
- В предложении "Что(бы) вам подарить на Новый год?" - чтобы
- В предложении "Небо хмурилось так(же), как и вчера." - как и и
- В предложении "Что(бы) много знать, надо мало спать." - чтобы
- В предложении "Стены были так(же) украшены коврами, как и диван." - как и и
Таким образом, союзами в данной выборке являются: чтобы, как, и.