. В урне 2 белых и 10 черных шаров; во второй – 8 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность, что а) оба шара белые; б) один белый и один черный; в)…

Решим задачу о вероятности, используя правило произведения для независимых событий.

Мы имеем две урны:

• Урна 1: 2 белых и 10 черных шаров (всего 12 шаров).
• Урна 2: 8 белых и 4 черных шара (всего 12 шаров).

Теперь найдем вероятность для каждого из трех случаев:

1. Вероятность того, что оба шара белые (а):

Для того чтобы оба шара были белыми, мы должны:

1. Вынуть белый шар из первой урны.
2. Вынуть белый шар из второй урны.

Вероятность вынуть белый шар из первой урны: \[ P(B_1) = \frac{2 \text{ белых}}{12 \text{ всего}} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

Вероятность вынуть белый шар из второй урны: \[ P(B_2) = \frac{8 \text{ белых}}{12 \text{ всего}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]

Теперь применяем правило произведения, так как эти события независимы: \[ P(\text{оба белые}) = P(B_1) \cdot P(B_2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]

2. Вероятность того, что один белый и один черный (б):

Этот случай включает два сценария:

1. Белый шар из первой урны и черный шар из второй.
2. Черный шар из первой урны и белый шар из второй.

Сценарий 1:

• Вероятность вынуть белый шар из первой урны: \(\frac{1}{6}\) (как мы уже рассчитали).
• Вероятность вынуть черный шар из второй урны: \[ P(C_2) = \frac{4 \text{ черных}}{12 \text{ всего}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Сценарий 1: \[ P(B_1) \cdot P(C_2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18} \]

Сценарий 2:

• Вероятность вынуть черный шар из первой урны: \[ P(C_1) = \frac{10 \text{ черных}}{12 \text{ всего}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]
• Вероятность вынуть белый шар из второй урны: \(\frac{2}{3}\) (как мы уже рассчитали).

Сценарий 2: \[ P(C_1) \cdot P(B_2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \]

Теперь складываем оба сценария для получения полной вероятности одного белого и одного черного шара: \[ P(\text{один белый и один черный}) = \frac{1}{18} + \frac{5}{9} = \frac{1}{18} + \frac{10}{18} = \frac{11}{18} \]

3. Вероятность того, что оба шара черные (в):

Аналогично, мы вычислим вероятность, что оба шара черные:

Вероятность вынуть черный шар из первой урны: \[ P(C_1) = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]

Вероятность вынуть черный шар из второй урны: \[ P(C_2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Применяем правило произведения: \[ P(\text{оба черные}) = P(C_1) \cdot P(C_2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{18} \]

Ответы:

а) Вероятность, что оба шара белые: \(\frac{1}{9}\)
б) Вероятность, что один белый и один черный: \(\frac{11}{18}\)
в) Вероятность, что оба шара черные: \(\frac{5}{18}\)