Чтобы вычислить выражение ( \log_5 3 - \log_5 75 ), мы можем использовать свойства логарифмов. В частности, у нас есть свойство, которое говорит, что разность логарифмов можно выразить через логарифм отношения:
[
\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)
]
Применим это свойство к нашему выражению:
[
\log_5 3 - \log_5 75 = \log_5 \left(\frac{3}{75}\right)
]
Теперь упростим дробь:
[
\frac{3}{75} = \frac{3}{3 \cdot 25} = \frac{1}{25}
]
Таким образом, мы можем переписать наш логарифм:
[
\log_5 \left(\frac{3}{75}\right) = \log_5 \left(\frac{1}{25}\right)
]
Теперь вспомним, что ( 25 = 5^2 ), значит:
[
\frac{1}{25} = 5^{-2}
]
И, подставляя это обратно в наш логарифм, мы получаем:
[
\log_5 \left(5^{-2}\right)
]
Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражение:
[
\log_a (a^b) = b
]
В нашем случае ( a = 5 ) и ( b = -2 ):
[
\log_5 (5^{-2}) = -2
]
Таким образом, окончательный ответ для ( \log_5 3 - \log_5 75 ) равен:
[
\boxed{-2}
]
