Давайте подробно решим задачу о прямоугольном треугольнике, в котором один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.
Шаг 1: Определим основные элементы треугольника
В прямоугольном треугольнике обозначим:
- ( a ) — меньший катет (противолежащий углу 60°)
- ( b ) — больший катет (прилежащий к углу 60°)
- ( c ) — гипотенуза
Поскольку угол в 60° противоположен меньшему катету ( a ), применим соотношения между сторонами и углами.
Шаг 2: Воспользуемся тригонометрическими соотношениями
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом в 60°:
- ( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} )
- ( \cos(60°) = \frac{1}{2} )
Согласно этим соотношениям:
- ( \sin(60°) = \frac{a}{c} ) → ( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ) (1)
- ( \cos(60°) = \frac{b}{c} ) → ( b = c \cdot \frac{1}{2} ) (2)
Шаг 3: Используем данное условие о сумме гипотенузы и катета
Согласно условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см:
[
c + a = 26.4 \text{ см} \tag{3}
]
Теперь подставим значение ( a ) из уравнения (1) в уравнение (3):
[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26.4
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Соберем ( c ):
[
c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 26.4
]
Представим сумму как общий знаменатель:
[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 26.4
]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
c (2 + \sqrt{3}) = 52.8
]
Шаг 5: Найдем гипотенузу ( c )
Теперь выразим ( c ):
[
c = \frac{52.8}{2 + \sqrt{3}}
]
Шаг 6: Посчитаем значение гипотенузы
Сначала нам нужно оценить значение ( 2 + \sqrt{3} ):
- Приблизительно ( \sqrt{3} \approx 1.732 )
- Соответственно, ( 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 )
Теперь подставим это значение в уравнение для нахождения ( c ):
[
c \approx \frac{52.8}{3.732} \approx 14.16 \text{ см}
]
Ответ
Таким образом, гипотенуза треугольника составляет приблизительно 14.16 см.
