Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°,а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.Найдите гипотенузу треугольника

Давайте подробно решим задачу о прямоугольном треугольнике, в котором один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.

Шаг 1: Определим основные элементы треугольника

В прямоугольном треугольнике обозначим:

• \( a \) — меньший катет (противолежащий углу 60°)
• \( b \) — больший катет (прилежащий к углу 60°)
• \( c \) — гипотенуза

Поскольку угол в 60° противоположен меньшему катету \( a \), применим соотношения между сторонами и углами.

Шаг 2: Воспользуемся тригонометрическими соотношениями

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом в 60°:

• \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \)

Согласно этим соотношениям:

• \( \sin(60°) = \frac{a}{c} \) → \( a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) (1)
• \( \cos(60°) = \frac{b}{c} \) → \( b = c \cdot \frac{1}{2} \) (2)

Шаг 3: Используем данное условие о сумме гипотенузы и катета

Согласно условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см: \[ c + a = 26.4 \text{ см} \tag{3} \]

Теперь подставим значение \( a \) из уравнения (1) в уравнение (3): \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26.4 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Соберем \( c \): \[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 26.4 \]

Представим сумму как общий знаменатель: \[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 26.4 \]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ c (2 + \sqrt{3}) = 52.8 \]

Шаг 5: Найдем гипотенузу \( c \)

Теперь выразим \( c \): \[ c = \frac{52.8}{2 + \sqrt{3}} \]

Шаг 6: Посчитаем значение гипотенузы

Сначала нам нужно оценить значение \( 2 + \sqrt{3} \):

• Приблизительно \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
• Соответственно, \( 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \)

Теперь подставим это значение в уравнение для нахождения \( c \): \[ c \approx \frac{52.8}{3.732} \approx 14.16 \text{ см} \]

Ответ

Таким образом, гипотенуза треугольника составляет приблизительно 14.16 см.