2. Даны координаты вершин треугольника АВС: A (-6; 1), В (2; 4), С (2; -2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведённую из вершины А.
Давайте начнем с того, что определим, равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого хотя бы две стороны равны по длине. В нашей задаче нам даны координаты вершин треугольника A, B и C.
Координаты вершин:
- A (-6; 1)
- B (2; 4)
- C (2; -2)
Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника
Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Теперь найдем длины сторон AB, AC и BC.
Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]
Длина стороны AC: \[ AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]
Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + (4 + 2)^2} = \sqrt{0 + 6^2} = \sqrt{36} = 6 \]
Шаг 2: Сравним длины сторон
Теперь мы можем сравнить длины сторон:
- AB = AC = \(\sqrt{73}\)
- BC = 6
Так как стороны AB и AC равны, мы можем утверждать, что треугольник ABC равнобедренный.
Шаг 3: Найдем высоту треугольника, проведённую из вершины A
Высота треугольника, проведенная из вершины A, перпендикулярна основанию BC. Для нахождения её длины можем воспользоваться формулой для площади треугольника через основание и высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \] Также, мы можем найти площадь треугольника через координаты вершин с помощью формулы: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим наши координаты: \[ S = \frac{1}{2} \left| -6(4 - (-2)) + 2(-2 - 1) + 2(1 - 4) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -6(6) + 2(-3) + 2(-3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -36 - 6 - 6 \right| = \frac{1}{2} \left| -48 \right| = \frac{48}{2} = 24 \]
Шаг 4: Подставим известное значение площади в формулу
Теперь у нас есть площадь \(S = 24\) и основание (длина стороны BC = 6): \[ 24 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h \] Решим уравнение для нахождения высоты \(h\): \[ 24 = 3h \implies h = \frac{24}{3} = 8 \]
Ответ
Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC равнобедренный, и высота треугольника, проведённая из вершины A, равна 8.
