Вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АВ в точке К. Скольки будет равна сторона АС, если периметр треугольника АВС равен 20, АК=5, КВ=2 ?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть треугольник ABC, в котором вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Дано, что периметр треугольника ABC равен 20, а отрезки AK и KB равны 5 и 2 соответственно. Нам нужно найти длину стороны AC. 1. **Найдём длину стороны AB:** - По данным параметрам, длину стороны AB можно найти, сложив длины отрезков AK и KB: \[ AB = AK + KB = 5 + 2 = 7. \] 2. **Обозначим длины остальных сторон:** - Обозначим сторону AC как \(c\) и сторону BC как \(b\). 3. **Запишем периметр треугольника:** - Периметр треугольника состоит из сумм длин всех его сторон: \[ P = AB + BC + AC = 20. \] - Заменим известные значения: \[ 7 + b + c = 20. \] - Упростим это уравнение: \[ b + c = 20 - 7 = 13. \] 4. **Используя свойства вписанной окружности:** - Важно помнить, что для треугольника, у которого вписанная окружность, отрезки, на которые стороны треугольника разбиваются точками касания, имеют определённые связи. Для сторон AB, AC и BC мы можем записать следующие равенства: \[ AK = s - a, \quad KB = s - b, \quad \] где \(s\) — полупериметр треугольника, и \(a\), \(b\), \(c\) — длины сторон треугольника, соответственно. 5. **Находим полупериметр:** - Полупериметр \(s\) можно найти так: \[ s = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10. \] - Теперь у нас есть: \[ AK = s - b \Rightarrow 5 = 10 - b \Rightarrow b = 5, \] \[ KB = s - c \Rightarrow 2 = 10 - c \Rightarrow c = 8. \] 6. **Теперь, зная значение b и c, можем дать окончательный ответ:** - Мы нашли, что: \[ c = AC = 8. \] Таким образом, длина стороны AC равна **8**.