Вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АВ в точке К. Скольки будет равна сторона АС, если периметр треугольника АВС равен 20, АК=5, КВ=2 ?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть треугольник ABC, в котором вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Дано, что периметр треугольника ABC равен 20, а отрезки AK и KB равны 5 и 2 соответственно. Нам нужно найти длину стороны AC.

1. Найдём длину стороны AB:

   • По данным параметрам, длину стороны AB можно найти, сложив длины отрезков AK и KB: \[ AB = AK + KB = 5 + 2 = 7. \]

2. Обозначим длины остальных сторон:

   • Обозначим сторону AC как \(c\) и сторону BC как \(b\).

3. Запишем периметр треугольника:

   • Периметр треугольника состоит из сумм длин всех его сторон: \[ P = AB + BC + AC = 20. \]
   • Заменим известные значения: \[ 7 + b + c = 20. \]
   • Упростим это уравнение: \[ b + c = 20 - 7 = 13. \]

4. Используя свойства вписанной окружности:

   • Важно помнить, что для треугольника, у которого вписанная окружность, отрезки, на которые стороны треугольника разбиваются точками касания, имеют определённые связи. Для сторон AB, AC и BC мы можем записать следующие равенства: \[ AK = s - a, \quad KB = s - b, \quad \] где \(s\) — полупериметр треугольника, и \(a\), \(b\), \(c\) — длины сторон треугольника, соответственно.

5. Находим полупериметр:

   • Полупериметр \(s\) можно найти так: \[ s = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10. \]
   • Теперь у нас есть: \[ AK = s - b \Rightarrow 5 = 10 - b \Rightarrow b = 5, \] \[ KB = s - c \Rightarrow 2 = 10 - c \Rightarrow c = 8. \]

6. Теперь, зная значение b и c, можем дать окончательный ответ:

   • Мы нашли, что: \[ c = AC = 8. \]

Таким образом, длина стороны AC равна 8.