Баржа прошла по течению реки 12 км, повернув обратно, прошла ещё 2 км, затратив на весь путь 1 час 20 минут. Найдите скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Чтобы решить задачу, давайте разобьём её на несколько шагов и выясним, какую скорость имеет баржа.

Данные задачи

• Расстояние по течению: 12 км
• Расстояние против течения: 2 км
• Время в пути: 1 час 20 минут
• Скорость течения реки: 3 км/ч

Переведем время в часы

Сначала переведём общее время в часы: 1 час 20 минут = 1 + 20/60 = 1 + 1/3 = 4/3 часа

Определим скорость баржи

Обозначим скорость баржи в стоячей воде как \(v\) (км/ч).

1. Направление по течению:

   • Когда баржа движется по течению, её скорость увеличивается на скорость течения: \[ \text{Скорость по течению} = v + 3 \]
   • Время, затраченное на движение вниз по течению (12 км): \[ t_1 = \frac{12}{v + 3} \]

2. Направление против течения:

   • Когда баржа движется против течения, её скорость уменьшается на скорость течения: \[ \text{Скорость против течения} = v - 3 \]
   • Время, затраченное на движение вверх против течения (2 км): \[ t_2 = \frac{2}{v - 3} \]

Общее время

Суммарное время, потраченное на оба участка пути, равно 4/3 часа: \[ t_1 + t_2 = \frac{12}{v + 3} + \frac{2}{v - 3} = \frac{4}{3} \]

Перепишем уравнение

Умножим всё уравнение на \(3(v + 3)(v - 3)\), чтобы избавиться от дробей: \[ 3(v - 3) \cdot 12 + 3(v + 3) \cdot 2 = 4(v + 3)(v - 3) \]

Упростим это

1. Умножаем и раскроем скобки: \[ 36(v - 3) + 6(v + 3) = 4(v^2 - 9) \]

2. Раскроем скобки: \[ 36v - 108 + 6v + 18 = 4v^2 - 36 \] \[ 42v - 90 = 4v^2 - 36 \]

3. Переносим все в одну сторону: \[ 4v^2 - 42v + 54 = 0 \]

Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 54 \] \[ D = 1764 - 864 = 900 \]

Извлекаем корень дискриминанта: \[ D = 30 \]

Теперь находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 \pm 30}{8} \] Получаем два значения:

1. \(v_1 = \frac{72}{8} = 9\) км/ч
2. \(v_2 = \frac{12}{8} = 1.5\) км/ч (это значение не имеет смысла, так как скорость баржи должна быть больше скорости течения)

В итоге, скорость баржи в стоячей воде \(v = 9\) км/ч.

Ответ

Скорость баржи составляет 9 км/ч.