Чтобы решить задачу, давайте разобьём её на несколько шагов и выясним, какую скорость имеет баржа.
Данные задачи
- Расстояние по течению: 12 км
- Расстояние против течения: 2 км
- Время в пути: 1 час 20 минут
- Скорость течения реки: 3 км/ч
Переведем время в часы
Сначала переведём общее время в часы:
1 час 20 минут = 1 + 20/60 = 1 + 1/3 = 4/3 часа
Определим скорость баржи
Обозначим скорость баржи в стоячей воде как (v) (км/ч).
Направление по течению:
- Когда баржа движется по течению, её скорость увеличивается на скорость течения:
[
\text{Скорость по течению} = v + 3
]
- Время, затраченное на движение вниз по течению (12 км):
[
t_1 = \frac{12}{v + 3}
]
Направление против течения:
- Когда баржа движется против течения, её скорость уменьшается на скорость течения:
[
\text{Скорость против течения} = v - 3
]
- Время, затраченное на движение вверх против течения (2 км):
[
t_2 = \frac{2}{v - 3}
]
Общее время
Суммарное время, потраченное на оба участка пути, равно 4/3 часа:
[
t_1 + t_2 = \frac{12}{v + 3} + \frac{2}{v - 3} = \frac{4}{3}
]
Перепишем уравнение
Умножим всё уравнение на (3(v + 3)(v - 3)), чтобы избавиться от дробей:
[
3(v - 3) \cdot 12 + 3(v + 3) \cdot 2 = 4(v + 3)(v - 3)
]
Упростим это
Умножаем и раскроем скобки:
[
36(v - 3) + 6(v + 3) = 4(v^2 - 9)
]
Раскроем скобки:
[
36v - 108 + 6v + 18 = 4v^2 - 36
]
[
42v - 90 = 4v^2 - 36
]
Переносим все в одну сторону:
[
4v^2 - 42v + 54 = 0
]
Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 54
]
[
D = 1764 - 864 = 900
]
Извлекаем корень дискриминанта:
[
D = 30
]
Теперь находим корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 \pm 30}{8}
]
Получаем два значения:
- (v_1 = \frac{72}{8} = 9) км/ч
- (v_2 = \frac{12}{8} = 1.5) км/ч (это значение не имеет смысла, так как скорость баржи должна быть больше скорости течения)
В итоге, скорость баржи в стоячей воде (v = 9) км/ч.
Ответ
Скорость баржи составляет 9 км/ч.
