Требуется изготовить рамки для выставки фотографий. Одна багетная мастерская берётся выполнить заказ за 12 дней, другая — - за 15 дней, третья – за 20 дней. За сколько дней…

Чтобы решить задачу о том, за сколько дней все три мастерские выполнят заказ, можно воспользоваться методом нахождения суммарной производительности.

1. Находим производительность каждой мастерской:

   • Первая мастерская выполняет заказ за 12 дней, значит, её производительность равна \(\frac{1}{12}\) заказов в день.
   • Вторая мастерская выполняет заказ за 15 дней, её производительность равна \(\frac{1}{15}\) заказов в день.
   • Третья мастерская выполняет заказ за 20 дней, её производительность равна \(\frac{1}{20}\) заказов в день.

2. Суммируем производительности: Чтобы найти общую производительность всех трёх мастерских, сложим их производительности: \[ \text{Общая производительность} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} \]

3. Находим общий знаменатель: Общим знаменателем для дробей 12, 15 и 20 является 60. Теперь переведем каждую дробь в дробь со знаменателем 60: \[ \frac{1}{12} = \frac{5}{60}, \quad \frac{1}{15} = \frac{4}{60}, \quad \frac{1}{20} = \frac{3}{60} \] Теперь можно сложить дроби: \[ \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5 + 4 + 3}{60} = \frac{12}{60} \]

4. Упрощаем результат: \[ \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \] Это означает, что три мастерские вместе выполняют \(\frac{1}{5}\) заказа в день.

5. Находим время выполнения заказа: Чтобы узнать, за сколько дней они выполнят весь заказ, нужно взять обратную величину производительности: \[ \text{Время выполнения} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5 \text{ дней} \]

Таким образом, все три мастерские выполнят заказ за 5 дней.