Через первую трубу бак наполняется за 40 мин, а через вторую – за 24 мин. За сколько минут наполнится бак через обе эти трубы при их совместной работе?
Чтобы решить задачу о наполнении бака через две трубы, давайте начнём с определения скорости наполнения каждой трубы.
Определим скорость заполнения каждой трубы:
- Первая труба заполняет бак за 40 минут. Это значит, что за 1 минуту она заполняет \(\frac{1}{40}\) баков.
- Вторая труба заполняет бак за 24 минуты. Соответственно, за 1 минуту она заполняет \(\frac{1}{24}\) баков.
Сложим скорости заполнения обеих труб:
Чтобы найти общую скорость заполнения, нужно сложить скорости заполнения обеих труб.
\[ \text{Общая скорость} = \frac{1}{40} + \frac{1}{24} \]
Для сложения дробей нужно найти общий знаменатель, которым будет 120 (наименьшее общее кратное 40 и 24).
Переписываем дроби с общим знаменателем:
\[ \frac{1}{40} = \frac{3}{120} \quad (\text{так как } 1 \cdot 3 = 3 \text{ и } 40 \cdot 3 = 120) \] \[ \frac{1}{24} = \frac{5}{120} \quad (\text{так как } 1 \cdot 5 = 5 \text{ и } 24 \cdot 5 = 120) \]
Тогда общая скорость будет:
\[ \frac{3}{120} + \frac{5}{120} = \frac{8}{120} \]
Упростим дробь:
\[ \frac{8}{120} = \frac{1}{15} \]
Это означает, что вместе обе трубы наполняют \(\frac{1}{15}\) бака за 1 минуту.
Теперь найдем, сколько времени потребуется для заполнения всего бака:
Если обе трубы заполняют \(\frac{1}{15}\) бака за 1 минуту, то время, необходимое чтобы наполнить весь бак, будет равно обратному значению скорости:
\[ t = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15 \text{ минут} \]
Таким образом, бак наполнится через обе трубы за 15 минут.
