Через первую трубу бак наполняется за 40 мин, а через вторую – за 24 мин. За сколько минут наполнится бак через обе эти трубы при их совместной работе?

Чтобы решить задачу о наполнении бака через две трубы, давайте начнём с определения скорости наполнения каждой трубы. 1. **Определим скорость заполнения каждой трубы:** - Первая труба заполняет бак за 40 минут. Это значит, что за 1 минуту она заполняет \(\frac{1}{40}\) баков. - Вторая труба заполняет бак за 24 минуты. Соответственно, за 1 минуту она заполняет \(\frac{1}{24}\) баков. 2. **Сложим скорости заполнения обеих труб:** Чтобы найти общую скорость заполнения, нужно сложить скорости заполнения обеих труб. \[ \text{Общая скорость} = \frac{1}{40} + \frac{1}{24} \] Для сложения дробей нужно найти общий знаменатель, которым будет 120 (наименьшее общее кратное 40 и 24). Переписываем дроби с общим знаменателем: \[ \frac{1}{40} = \frac{3}{120} \quad (\text{так как } 1 \cdot 3 = 3 \text{ и } 40 \cdot 3 = 120) \] \[ \frac{1}{24} = \frac{5}{120} \quad (\text{так как } 1 \cdot 5 = 5 \text{ и } 24 \cdot 5 = 120) \] Тогда общая скорость будет: \[ \frac{3}{120} + \frac{5}{120} = \frac{8}{120} \] Упростим дробь: \[ \frac{8}{120} = \frac{1}{15} \] Это означает, что вместе обе трубы наполняют \(\frac{1}{15}\) бака за 1 минуту. 3. **Теперь найдем, сколько времени потребуется для заполнения всего бака:** Если обе трубы заполняют \(\frac{1}{15}\) бака за 1 минуту, то время, необходимое чтобы наполнить весь бак, будет равно обратному значению скорости: \[ t = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15 \text{ минут} \] Таким образом, бак наполнится через обе трубы за **15 минут**.