В выпуклом четырёхугольнике  M N K P MNKP углы  M N K MNK и  M P K MPK равны соответственно  8 7 ∘ 87 ∘  и  7 4 ∘ 74 ∘ . Найди угол  K N P KNP, если  M N = M K = M P MN=MK=MP.

Давайте решим задачу о выпуклом четырёхугольнике \(MNKP\) с заданными углами. Мы знаем следующую информацию: Углы: - \(\angle MNK = 87^\circ\) - \(\angle MPK = 74^\circ\) Данные о сторонах: - \(MN = MK = MP\) ### Шаг 1: Определение угла \(KNP\) Выпуклый четырёхугольник \(MNKP\) имеет четыре внутренних угла, сумма которых равна \(360^\circ\): \[ \angle MNK + \angle MPK + \angle KNP + \angle NPM = 360^\circ \] ### Шаг 2: Найдём сумму углов Заменим известные углы в это уравнение: \[ 87^\circ + 74^\circ + \angle KNP + \angle NPM = 360^\circ \] Выразим сумму \(\angle KNP + \angle NPM\): \[ \angle KNP + \angle NPM = 360^\circ - (87^\circ + 74^\circ) = 360^\circ - 161^\circ = 199^\circ \] ### Шаг 3: Анализ боковых углов Поскольку \(MN = MK = MP\), это означает, что треугольник \(MNK\) и треугольник \(MPK\) являются равнобедренными. #### В треугольнике \(MNK\): - Угол \(MNK\) равен \(87^\circ\), а углы \(MNK\) и \(NKM\) равны. Пусть \(x\) — это угол \(NKM\). В треугольнике \(MNK\) сумма углов равна \(180^\circ\): \[ \angle MNK + 2x = 180^\circ \] \[ 87^\circ + 2x = 180^\circ \implies 2x = 180^\circ - 87^\circ = 93^\circ \implies x = 46.5^\circ \] Таким образом, \(\angle NKM = \angle NPM = 46.5^\circ\) (так как \(MN = MK = MP\)). ### Шаг 4: Подставим в сумму углов Теперь вернёмся к выражению \( \angle KNP + \angle NPM = 199^\circ\): \[ \angle KNP + 46.5^\circ = 199^\circ \] ### Шаг 5: Найдём угол \(KNP\) Решим уравнение на \(\angle KNP\): \[ \angle KNP = 199^\circ - 46.5^\circ = 152.5^\circ \] ### Ответ Таким образом, угол \(KNP\) равен \(152.5^\circ\).