Для решения задачи о вероятности необходима формула биномиального распределения. Давайте разберем ее шаг за шагом.
Исходные данные
- Вероятность того, что один станок нуждается в дополнительной регулировке ((p)) = 0.05 (5%)
- Вероятность того, что один станок не нуждается в регулировке ((q)) = 1 - 0.05 = 0.95 (95%)
- Количество изготовленных станков ((n)) = 6
- Количество станков, которые нуждаются в регулировке ((k)) = 4
Формула биномиального распределения
Вероятность того, что из (n) испытаний, (k) из которых успешны (в нашем случае станки, нуждающиеся в регулировке), можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где (C(n, k)) – это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
Шаг 1: Вычисление биномиального коэффициента (C(n, k))
Для нашего случая:
[
C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!}
]
Вычислим факториалы:
- (6! = 720)
- (4! = 24)
- (2! = 2)
Теперь подставим:
[
C(6, 4) = \frac{720}{24 \cdot 2} = \frac{720}{48} = 15
]
Шаг 2: Вычисление вероятности
Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:
[
P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.05)^4 \cdot (0.95)^{6-4}
]
Подставляем (C(6, 4) = 15):
[
P(X = 4) = 15 \cdot (0.05)^4 \cdot (0.95)^2
]
Теперь вычислим ( (0.05)^4 ) и ( (0.95)^2 ):
- ( (0.05)^4 = 0.00000625 )
- ( (0.95)^2 = 0.9025 )
Подставляем эти значения в вероятностное выражение:
[
P(X = 4) = 15 \cdot 0.00000625 \cdot 0.9025
]
Теперь умножим:
[
P(X = 4) = 15 \cdot 0.00000625 \cdot 0.9025 = 0.00008458984375
]
Шаг 3: Окончательный ответ
Округляем результат до 6 знаков после запятой (что соответствует точности до 100.000):
[
P(X = 4) \approx 0.000085
]
Ответ
Вероятность того, что из шести изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной регулировке, составляет приблизительно 0.000085.
