по данным технического контроля 5% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировки Найдите вероятность того что из шести изготовленных станков 4 нуждаются…

Для решения задачи о вероятности необходима формула биномиального распределения. Давайте разберем ее шаг за шагом.

Исходные данные

• Вероятность того, что один станок нуждается в дополнительной регулировке (\(p\)) = 0.05 (5%)
• Вероятность того, что один станок не нуждается в регулировке (\(q\)) = 1 - 0.05 = 0.95 (95%)
• Количество изготовленных станков (\(n\)) = 6
• Количество станков, которые нуждаются в регулировке (\(k\)) = 4

Формула биномиального распределения

Вероятность того, что из \(n\) испытаний, \(k\) из которых успешны (в нашем случае станки, нуждающиеся в регулировке), можно вычислить по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \(C(n, k)\) – это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

Шаг 1: Вычисление биномиального коэффициента \(C(n, k)\)

Для нашего случая:

\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} \]

Вычислим факториалы:

• \(6! = 720\)
• \(4! = 24\)
• \(2! = 2\)

Теперь подставим:

\[ C(6, 4) = \frac{720}{24 \cdot 2} = \frac{720}{48} = 15 \]

Шаг 2: Вычисление вероятности

Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:

\[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.05)^4 \cdot (0.95)^{6-4} \]

Подставляем \(C(6, 4) = 15\):

\[ P(X = 4) = 15 \cdot (0.05)^4 \cdot (0.95)^2 \]

Теперь вычислим \( (0.05)^4 \) и \( (0.95)^2 \):

• \( (0.05)^4 = 0.00000625 \)
• \( (0.95)^2 = 0.9025 \)

Подставляем эти значения в вероятностное выражение:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot 0.00000625 \cdot 0.9025 \]

Теперь умножим:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot 0.00000625 \cdot 0.9025 = 0.00008458984375 \]

Шаг 3: Окончательный ответ

Округляем результат до 6 знаков после запятой (что соответствует точности до 100.000):

\[ P(X = 4) \approx 0.000085 \]

Ответ

Вероятность того, что из шести изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной регулировке, составляет приблизительно 0.000085.