Чтобы найти вероятность регистрации частицы, которая проходит мимо пяти счётчиков и регистрируется с вероятностью 0,75 каждым счётчиком, будем использовать распределение Бернулли.
Шаг 1: Понимание задачи
Каждый из пяти счётчиков регистрирует частицу indépendamment с вероятностью ( p = 0,75 ) (что обозначает успешную регистрацию) или не регистрирует частицу с вероятностью ( q = 1 - p = 0,25 ).
Частица считается зарегистрированной, если она отмечена как минимум двумя счётчиками.
Шаг 2: Определение необходимых событий
Мы можем использовать биномиальное распределение, поскольку у нас есть фиксированное число испытаний (5 счётчиков), каждое из которых имеет два результата (успех — регистрация и неудача — отсутствие регистрации).
Обозначим количество зарегистрированных счётчиков как ( X ). Это биномиальная случайная величина с параметрами ( n = 5 ) (число испытаний) и ( p = 0,75 ).
Нам нужно найти вероятность ( P(X \geq 2) ).
Шаг 3: Вычисление вероятности
Нам проще сначала найти вероятность ( P(X < 2) ) и использовать её для нахождения ( P(X \geq 2) ).
Тогда:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
]
1. Вычисление ( P(X = 0) ):
Это вероятность того, что ни один из счётчиков не зарегистрирует частицу:
[
P(X = 0) = \binom{5}{0} (0.75)^0 (0.25)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.25^5 = 0.0009765625
]
2. Вычисление ( P(X = 1) ):
Это вероятность того, что только один счётчик зарегистрирует частицу:
[
P(X = 1) = \binom{5}{1} (0.75)^1 (0.25)^4 = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.25^4 = 5 \cdot 0.75 \cdot 0.00390625 = 0.0146484375
]
3. Сложение вероятностей:
Теперь мы можем сложить эти два результата:
[
P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1) = 0.0009765625 + 0.0146484375 = 0.015625
]
Шаг 4: Находим вероятность ( P(X \geq 2) ):
Теперь найдем вероятность того, что частица будет зарегистрирована как минимум двумя счётчиками:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.015625 = 0.984375
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что частица будет зарегистрирована как минимум двумя счётчиками, составляет 0,984375 или 98,44%.
