Через точку C окружности с центром O проведена касательная AB, причём AO=OB. Докажи, что AC=CB

Для решения задачи, давайте рассмотрим данную геометрическую ситуацию и приведем подробное доказательство. ### Условие задачи: - Окружность с центром O. - Касательная AB, проходящая через точку C окружности. - Отрезки AO и OB равны (то есть AO = OB). Наша цель — доказать, что отрезки AC и CB равны (то есть AC = CB). ### Пошаговое решение: 1. **Определение касательной:** - По определению, касательная к окружности (в нашем случае AB) перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, поскольку C — это точка касания, мы имеем: \[ OC \perp AB \] 2. **Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOC:** - У нас есть два треугольника: AOC и BOC. - В этих треугольниках: - AO = OB (по условию задачи), - OC — общий катет для обоих треугольников, - Угол AOC и угол BOC равны 90° (потому что OC перпендикулярен AB). 3. **Применим критерий равенства треугольников:** - Мы имеем два треугольника AOC и BOC, у которых: - AO = OB (по условию), - OC = OC (общий катет), - Углы AOC = Углы BOC = 90°. - Эти два треугольника являются равными по признаку «катет, катет, угол» (ККУ). 4. **Следствие из равенства треугольников:** - Поскольку треугольники AOC и BOC равны, соответственно их соответствующие стороны равны: \[ AC = BC \] 5. **Заключение:** - Мы доказали, что AC = CB, что и требовалось доказать. Таким образом, используя свойства касательной и равенство треугольников, мы пришли к заключению, что отрезки AC и CB равны.