Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) ), мы можем использовать тригонометрическую идентичность и свойства интегралов.
Шаг 1: Применение тригонометрической идентичности
Сначала воспользуемся формулой для двукратного угла:
[
\sin(A) \cos(A) = \frac{1}{2} \sin(2A)
]
В нашем случае ( A = \frac{x}{2} ). Таким образом, имеем:
[
-2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} \sin(x) = -\sin(x)
]
Теперь наша функция принимает более простую форму:
[
f(x) = -\sin(x)
]
Шаг 2: Нахождение первообразной
Теперь нам нужно найти первообразную ( F(x) ) функции ( f(x) = -\sin(x) ).
Известно, что:
[
\frac{d}{dx}(-\cos(x)) = \sin(x)
]
Следовательно, первообразная будет:
[
F(x) = \cos(x) + C
]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
Итог
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) ) равна:
[
F(x) = \cos(x) + C
]
где ( C ) — произвольная константа.
