Найти первообразную f(x) =-2sin x/2 cos x/2

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \), мы можем использовать тригонометрическую идентичность и свойства интегралов.

Шаг 1: Применение тригонометрической идентичности

Сначала воспользуемся формулой для двукратного угла:

\[ \sin(A) \cos(A) = \frac{1}{2} \sin(2A) \]

В нашем случае \( A = \frac{x}{2} \). Таким образом, имеем:

\[ -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} \sin(x) = -\sin(x) \]

Теперь наша функция принимает более простую форму:

\[ f(x) = -\sin(x) \]

Шаг 2: Нахождение первообразной

Теперь нам нужно найти первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) = -\sin(x) \).

Известно, что:

\[ \frac{d}{dx}(-\cos(x)) = \sin(x) \]

Следовательно, первообразная будет:

\[ F(x) = \cos(x) + C \]

где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Итог

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \) равна:

\[ F(x) = \cos(x) + C \]

где \( C \) — произвольная константа.