1.Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, заданной 4,7,10 2.Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, заданной формулой: аn=4n-З З.…

Давайте подробно разберем каждую задачу.

Задача 1: Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, заданной 4, 7, 10.

Арифметическая прогрессия (АП) - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается добавлением фиксированного числа (называемого разностью) к предыдущему.

1. Определим параметры:

   • Первый член \(a_1 = 4\)
   • Второй член \(a_2 = 7\)
   • Третий член \(a_3 = 10\)
   • Разность \(d\) вычисляется как \(d = a_2 - a_1 = 7 - 4 = 3\).

2. Построим формулу для n-го члена: Формула n-го члена АП: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] Подставим наши значения: \[ a_n = 4 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 1 \]

3. Найдём сумму первых 30 членов: Формула суммы первых n членов АП: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Сначала найдем \(a_{30}\): \[ a_{30} = 4 + (30-1) \cdot 3 = 4 + 87 = 91 \] Теперь подставим в формулу для суммы: \[ S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (4 + 91) = 15 \cdot 95 = 1425 \]

Ответ: Сумма первых тридцати членов равна 1425.

Задача 2: Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, заданной формулой: \(a_n = 4n - 3\).

1. Определим первый член и разность:

   • Первый член \(a_1 = a_1 = 4 \cdot 1 - 3 = 1\)
   • Разность \(d\) вычисляется как \(d = a_2 - a_1 = (4 \cdot 2 - 3) - (4 \cdot 1 - 3) = (8 - 3) - (4 - 3) = 5 - 1 = 4\).

2. Найдём сумму первых 40 членов: Найдём \(a_{40}\): \[ a_{40} = 4 \cdot 40 - 3 = 160 - 3 = 157 \] Теперь подставим в формулу для суммы: \[ S_{40} = \frac{40}{2} \cdot (1 + 157) = 20 \cdot 158 = 3160 \]

Ответ: Сумма первых сорока членов равна 3160.

Задача 3: Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 3.

1. Определим первый и последний трехзначные числа, кратные 3:

   • Первое трехзначное число: 102 (так как \(100 ÷ 3 = 33.33\) и округляем вверх)
   • Последнее трехзначное число: 999 (так как \(999 ÷ 3 = 333\))

2. Определим количество членов: Составим формулу для n-го члена АП: \[ a_n = 102 + (n-1) \cdot 3 \] Найдем n, когда \(a_n = 999\): \[ 999 = 102 + (n-1) \cdot 3 \] \[ 897 = (n-1) \cdot 3 \implies n-1 = 299 \implies n = 300 \]

3. Найдём сумму: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{300}{2} \cdot (102 + 999) = 150 \cdot 1101 = 165150 \]

Ответ: Сумма всех трехзначных чисел, кратных 3, равна 165150.

Задача 4: В арифметической прогрессии \(a_5 = 3\), \(a_9 = 15\). Найдите \(S_{20}\).

1. Определим разность: Используем формулу для n-го члена: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Для \(a_5\) и \(a_9\): \[ a_5 = a_1 + 4d = 3 \] \[ a_9 = a_1 + 8d = 15 \] Выразим систему: Из первого уравнения: \[ a_1 = 3 - 4d \] Подставим во второе: \[ 3 - 4d + 8d = 15 \implies 4d = 12 \implies d = 3 \] Теперь подставим \(d\) в первое уравнение: \[ a_1 = 3 - 4 \cdot 3 = 3 - 12 = -9 \]

2. Найдём сумму первых 20 членов \(S_{20}\): Найдём \(a_{20}\): \[ a_{20} = a_1 + 19d = -9 + 19 \cdot 3 = -9 + 57 = 48 \] Сумма: \[ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (-9 + 48) = 10 \cdot 39 = 390 \]

Ответ: Сумма первых 20 членов равна 390.