f(x) =x3-6x2+9 [-2;2]
Для того чтобы понять функцию \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9 \) на интервале \([-2; 2]\), мы можем выполнить несколько шагов: найти производную, исследовать множество значений функции, а также определить её поведение на заданном отрезке.
Шаг 1: Нахождение производной
Первое, что нам нужно сделать — это найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9) = 3x^2 - 12x \]
Шаг 2: Определение критических точек
Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не определена. Установим уравнение:
\[ 3x^2 - 12x = 0 \]
Факторизуем:
\[ 3x(x - 4) = 0 \]
Таким образом, критические точки:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 \]
Поскольку \( x = 4 \) не попадает в наш интервал \([-2; 2]\), нам остается рассмотреть только \( x = 0 \).
Шаг 3: Исследование значений функции на краях интервала и критических точках
Теперь нам нужно найти значения функции в критической точке и на границах нашего интервала:
На границе \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = -8 - 24 + 9 = -23 \]
На критической точке \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9 \]
На границе \( x = 2 \): \[ f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7 \]
Теперь у нас есть значения функции на интервале:
- \( f(-2) = -23 \)
- \( f(0) = 9 \)
- \( f(2) = -7 \)
Шаг 4: Подведение итогов
Протоколируя результаты:
- \( f(-2) = -23 \)
- \( f(0) = 9 \)
- \( f(2) = -7 \)
Самое высокое значение функции на интервале \([-2, 2]\) происходит в точке \( x = 0 \), и равно \( 9 \). Самое низкое значение на интервале достигается в точке \( x = -2 \) и равно \( -23 \).
Итог
Функция \( f(x) \) на интервале \([-2; 2]\) достигает максимума в \( x = 0 \) с значением \( 9 \) и минимума в \( x = -2 \) с значением \( -23 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше деталей, дайте знать!
