F(x) =x3-6x2+9 [-2;2]

Для того чтобы понять функцию \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9 \) на интервале \([-2; 2]\), мы можем выполнить несколько шагов: найти производную, исследовать множество значений функции, а также определить её поведение на заданном отрезке. ### Шаг 1: Нахождение производной Первое, что нам нужно сделать — это найти производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9) = 3x^2 - 12x \] ### Шаг 2: Определение критических точек Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не определена. Установим уравнение: \[ 3x^2 - 12x = 0 \] Факторизуем: \[ 3x(x - 4) = 0 \] Таким образом, критические точки: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 \] Поскольку \( x = 4 \) не попадает в наш интервал \([-2; 2]\), нам остается рассмотреть только \( x = 0 \). ### Шаг 3: Исследование значений функции на краях интервала и критических точках Теперь нам нужно найти значения функции в критической точке и на границах нашего интервала: 1. **На границе \( x = -2 \):** \[ f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = -8 - 24 + 9 = -23 \] 2. **На критической точке \( x = 0 \):** \[ f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9 \] 3. **На границе \( x = 2 \):** \[ f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7 \] Теперь у нас есть значения функции на интервале: - \( f(-2) = -23 \) - \( f(0) = 9 \) - \( f(2) = -7 \) ### Шаг 4: Подведение итогов Протоколируя результаты: - \( f(-2) = -23 \) - \( f(0) = 9 \) - \( f(2) = -7 \) Самое высокое значение функции на интервале \([-2, 2]\) происходит в точке \( x = 0 \), и равно \( 9 \). Самое низкое значение на интервале достигается в точке \( x = -2 \) и равно \( -23 \). ### Итог Функция \( f(x) \) на интервале \([-2; 2]\) достигает максимума в \( x = 0 \) с значением \( 9 \) и минимума в \( x = -2 \) с значением \( -23 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше деталей, дайте знать!