Чтобы определить правильные варианты ответов, в которых дано верное объяснение написания выделенных слов, разберем каждое из предложений по порядку.
ВАРЕННЫЙ - верно: суффикс -ЕНН- в отглагольном имени прилагательном действительно пишется с двумя Н. (Верно)
НЕ РАД - верно: имя прилагательное "рад" употребляется с "не" раздельно, так как у него нет полной формы. (Верно)
ВРОДЕ - неверно: производный союз "вроде" пишется слитно, но в предложении указано "(что-то) ВРОДЕ (бабочки)", что не является корректным для объяснения. (Неверно)
РАССКАЗЫВАТЬ - верно: правописание суффикса -ЫВА- зависит от формы настоящего времени 1-го лица единственного числа этого глагола. (Верно)
ВО-ВТОРЫХ - неверно: данный элемент не является именем прилагательным, а представляет собой числительное, и пишется через дефис. (Неверно)
НЕ ЗАПЕРТА - неверно: "не" с причастиями и глаголами может писаться как раздельно, так и слитно в зависимости от контекста и качества, но в данном случае "не" с глаголом "заперта" пишется раздельно. (Верно)
РАСКАЯЛСЯ - верно: перед суффиксом -Л- в формах прошедшего времени глаголов II спряжения действительно пишется буква "Я". (Верно)
В ПРОДОЛЖЕНИЕ - верно: в предложном падеже существительного "недели" действительно пишется буква "Е". (Верно)
много (ЛУЖ) - верно: в форме родительного падежа множественного числа "луж" буква Ь не пишется. (Верно)
Теперь запишем номера правильных вариантов:
Ответы: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9.