Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из пункта А в пункт В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в…

Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.

Дано:

• Расстояние между пунктами А и В: \( d = 45 \) км
• Скорость течения реки: \( v_{t} = 4 \) км/ч
• Плот проплыл \( 32 \) км до момента, когда лодка вернулась в пункт А.

Обозначим:

• Скорость лодки в неподвижной воде: \( v_{l} \) км/ч
• Время, прошедшее с момента отправления плота до момента возвращения лодки в пункт А: \( t \) ч

Плот:

Плот двигался по течению реки со скоростью равной скорости течения плюс его собственная скорость (в данном случае хоккей — это 0, так как плот не имеет своей скорости). Таким образом, его скорость будет: \[ v_{плот} = v_{t} = 4 \text{ км/ч} \]

Пусть плот двигался \( t \) часов. Тогда за это время он проплыл: \[ s_{плот} = v_{плот} \cdot t = 4t \] И согласно условию, плот проплыл 32 км: \[ 4t = 32 \implies t = \frac{32}{4} = 8 \text{ ч} \]

Лодка:

Лодка отправилась через 1 час после плота. Значит, время, который она проводила на пути в одном направлении и обратно:

• Время в пути до В (1 час ожидания + t часов движения плота): \( t + 1 = 8 + 1 = 9 \) ч.
• Время в пути обратно: \( t \) ч (время, за которое плот продолжал идти).

На пути к пункту В лодка движется по течению, а на пути обратно — против течения.

Движение лодки до пункта В:

• Дистанция до пункта В — 45 км. Скорость лодки по течению: \[ v_{l} + v_{t} = v_{l} + 4 \text{ км/ч} \] Таким образом, время, которое лодка тратила на путь к пункту В: \[ t_{вперед} = \frac{45}{v_{l} + 4} \]

Движение лодки обратно в пункт А:

Скорость лодки против течения будет: \[ v_{l} - v_{t} = v_{l} - 4 \text{ км/ч} \] Время, которое лодка тратила на путь обратно: \[ t_{назад} = \frac{45}{v_{l} - 4} \]

Общее время в пути лодки:

Сумма времени в пути к пункту В и обратно к пункту А равна \( 8 \) часам после отправления плота: \[ t_{вперед} + t_{назад} = 8 \] Подставим выражения для времени: \[ \frac{45}{v_{l} + 4} + \frac{45}{v_{l} - 4} = 8 \]

Умножим оба уравнения на \( (v_{l} + 4)(v_{l} - 4) \):

\[ 45(v_{l} - 4) + 45(v_{l} + 4) = 8(v_{l}^2 - 16) \] Упрощая, получаем: \[ 45v_{l} - 180 + 45v_{l} + 180 = 8(v_{l}^2 - 16) \] \[ 90v_{l} = 8v_{l}^2 - 128 \] Перепишем уравнение: \[ 8v_{l}^2 - 90v_{l} - 128 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Для решения используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-128) = 8100 + 4096 = 12196 \] Корни уравнения: \[ v_{l} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 \pm \sqrt{12196}}{16} \] Преобразуем: \[ \sqrt{12196} \approx 110.5 \] \[ v_{l} = \frac{90 + 110.5}{16} \text{ или } \frac{90 - 110.5}{16} \] Положительное значение: \[ v_{l} = \frac{200.5}{16} \approx 12.53 \text{ км/ч} \]

Ответ:

Скорость лодки в неподвижной воде примерно равна 12.5 км/ч.