Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.
Дано:
- Расстояние между пунктами А и В: ( d = 45 ) км
- Скорость течения реки: ( v_{t} = 4 ) км/ч
- Плот проплыл ( 32 ) км до момента, когда лодка вернулась в пункт А.
Обозначим:
- Скорость лодки в неподвижной воде: ( v_{l} ) км/ч
- Время, прошедшее с момента отправления плота до момента возвращения лодки в пункт А: ( t ) ч
Плот:
Плот двигался по течению реки со скоростью равной скорости течения плюс его собственная скорость (в данном случае хоккей — это 0, так как плот не имеет своей скорости). Таким образом, его скорость будет:
[
v_{плот} = v_{t} = 4 \text{ км/ч}
]
Пусть плот двигался ( t ) часов. Тогда за это время он проплыл:
[
s_{плот} = v_{плот} \cdot t = 4t
]
И согласно условию, плот проплыл 32 км:
[
4t = 32 \implies t = \frac{32}{4} = 8 \text{ ч}
]
Лодка:
Лодка отправилась через 1 час после плота. Значит, время, который она проводила на пути в одном направлении и обратно:
- Время в пути до В (1 час ожидания + t часов движения плота): ( t + 1 = 8 + 1 = 9 ) ч.
- Время в пути обратно: ( t ) ч (время, за которое плот продолжал идти).
На пути к пункту В лодка движется по течению, а на пути обратно — против течения.
Движение лодки до пункта В:
- Дистанция до пункта В — 45 км. Скорость лодки по течению:
[
v_{l} + v_{t} = v_{l} + 4 \text{ км/ч}
]
Таким образом, время, которое лодка тратила на путь к пункту В:
[
t_{вперед} = \frac{45}{v_{l} + 4}
]
Движение лодки обратно в пункт А:
Скорость лодки против течения будет:
[
v_{l} - v_{t} = v_{l} - 4 \text{ км/ч}
]
Время, которое лодка тратила на путь обратно:
[
t_{назад} = \frac{45}{v_{l} - 4}
]
Общее время в пути лодки:
Сумма времени в пути к пункту В и обратно к пункту А равна ( 8 ) часам после отправления плота:
[
t_{вперед} + t_{назад} = 8
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{45}{v_{l} + 4} + \frac{45}{v_{l} - 4} = 8
]
Умножим оба уравнения на ( (v_{l} + 4)(v_{l} - 4) ):
[
45(v_{l} - 4) + 45(v_{l} + 4) = 8(v_{l}^2 - 16)
]
Упрощая, получаем:
[
45v_{l} - 180 + 45v_{l} + 180 = 8(v_{l}^2 - 16)
]
[
90v_{l} = 8v_{l}^2 - 128
]
Перепишем уравнение:
[
8v_{l}^2 - 90v_{l} - 128 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
Для решения используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-128) = 8100 + 4096 = 12196
]
Корни уравнения:
[
v_{l} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 \pm \sqrt{12196}}{16}
]
Преобразуем:
[
\sqrt{12196} \approx 110.5
]
[
v_{l} = \frac{90 + 110.5}{16} \text{ или } \frac{90 - 110.5}{16}
]
Положительное значение:
[
v_{l} = \frac{200.5}{16} \approx 12.53 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде примерно равна 12.5 км/ч.
