Найдите значение |x-y|, если x^2-xy=84 и xy-y^2=35

Чтобы решить данную задачу, начнем с уравнений: 1. \( x^2 - xy = 84 \) 2. \( xy - y^2 = 35 \) Давайте преобразуем каждое из этих уравнений для того, чтобы выразить переменные \( x \) и \( y \). ### Шаг 1: Перепишите уравнения Рассмотрим первое уравнение: \[ x^2 - xy = 84 \implies x^2 = xy + 84 \] Теперь, второе уравнение: \[ xy - y^2 = 35 \implies xy = y^2 + 35 \] ### Шаг 2: Подстановка Теперь, подставим значение \( xy \) из второго уравнения в первое уравнение: \[ x^2 = (y^2 + 35) + 84 \] \[ x^2 = y^2 + 119 \] Теперь у нас есть выражение для \( x^2 \) в терминах \( y \). ### Шаг 3: Найдем соотношение между \( x \) и \( y \) Теперь можем выразить \( x \) через \( y \): \[ x = \sqrt{y^2 + 119} \] ### Шаг 4: Подставим \( x \) обратно Воспользуемся найденным значением для \( x \) и подставим его во второе уравнение: \[ (\sqrt{y^2 + 119})y - y^2 = 35 \] Это приведет к следующему уравнению: \[ y \sqrt{y^2 + 119} - y^2 = 35 \] ### Шаг 5: Изолируем корень Решим это уравнение находя значения \( y \): \[ y \sqrt{y^2 + 119} = y^2 + 35 \] \[ \sqrt{y^2 + 119} = \frac{y^2 + 35}{y} \] ### Шаг 6: Квадратируем обе стороны Квадратируем обе стороны: \[ y^2 + 119 = \left(\frac{y^2 + 35}{y}\right)^2 \] \[ y^2 + 119 = \frac{(y^2 + 35)^2}{y^2} \] Умножим обе стороны на \( y^2 \): \[ y^4 + 119y^2 = (y^2 + 35)^2 \] \[ y^4 + 119y^2 = y^4 + 70y^2 + 1225 \] Теперь, уберем \( y^4 \) с обеих сторон: \[ 119y^2 = 70y^2 + 1225 \] \[ 49y^2 = 1225 \] \[ y^2 = \frac{1225}{49} \implies y^2 = 25 \implies y = 5 \text{ или } y = -5 \] ### Шаг 7: Найдем \( x \) Теперь подставим найденное значение \( y \) обратно, чтобы найти \( x \): Если \( y = 5 \): \[ xy - y^2 = 35 \implies x \cdot 5 - 5^2 = 35 \implies 5x - 25 = 35 \implies 5x = 60 \implies x = 12 \] Если \( y = -5 \): \[ x \cdot (-5) - (-5)^2 = 35 \implies -5x - 25 = 35 \implies -5x = 60 \implies x = -12 \] ### Шаг 8: Находим |x - y| Теперь у нас есть пары \( (x, y) = (12, 5) \) и \( (x, y) = (-12, -5) \). Теперь найдем \( |x - y| \): Для пары \( (12, 5) \): \[ |12 - 5| = 7 \] Для пары \( (-12, -5) \): \[ |-12 - (-5)| = |-12 + 5| = |-7| = 7 \] ### Ответ Таким образом, итоговый ответ: \[ |x - y| = 7 \]