Найдите значение |x-y|, если x^2-xy=84 и xy-y^2=35
Чтобы решить данную задачу, начнем с уравнений:
- \( x^2 - xy = 84 \)
- \( xy - y^2 = 35 \)
Давайте преобразуем каждое из этих уравнений для того, чтобы выразить переменные \( x \) и \( y \).
Шаг 1: Перепишите уравнения
Рассмотрим первое уравнение:
\[ x^2 - xy = 84 \implies x^2 = xy + 84 \]
Теперь, второе уравнение:
\[ xy - y^2 = 35 \implies xy = y^2 + 35 \]
Шаг 2: Подстановка
Теперь, подставим значение \( xy \) из второго уравнения в первое уравнение:
\[ x^2 = (y^2 + 35) + 84 \] \[ x^2 = y^2 + 119 \]
Теперь у нас есть выражение для \( x^2 \) в терминах \( y \).
Шаг 3: Найдем соотношение между \( x \) и \( y \)
Теперь можем выразить \( x \) через \( y \):
\[ x = \sqrt{y^2 + 119} \]
Шаг 4: Подставим \( x \) обратно
Воспользуемся найденным значением для \( x \) и подставим его во второе уравнение:
\[ (\sqrt{y^2 + 119})y - y^2 = 35 \]
Это приведет к следующему уравнению:
\[ y \sqrt{y^2 + 119} - y^2 = 35 \]
Шаг 5: Изолируем корень
Решим это уравнение находя значения \( y \):
\[ y \sqrt{y^2 + 119} = y^2 + 35 \] \[ \sqrt{y^2 + 119} = \frac{y^2 + 35}{y} \]
Шаг 6: Квадратируем обе стороны
Квадратируем обе стороны:
\[ y^2 + 119 = \left(\frac{y^2 + 35}{y}\right)^2 \] \[ y^2 + 119 = \frac{(y^2 + 35)^2}{y^2} \]
Умножим обе стороны на \( y^2 \):
\[ y^4 + 119y^2 = (y^2 + 35)^2 \] \[ y^4 + 119y^2 = y^4 + 70y^2 + 1225 \]
Теперь, уберем \( y^4 \) с обеих сторон:
\[ 119y^2 = 70y^2 + 1225 \] \[ 49y^2 = 1225 \] \[ y^2 = \frac{1225}{49} \implies y^2 = 25 \implies y = 5 \text{ или } y = -5 \]
Шаг 7: Найдем \( x \)
Теперь подставим найденное значение \( y \) обратно, чтобы найти \( x \):
Если \( y = 5 \):
\[ xy - y^2 = 35 \implies x \cdot 5 - 5^2 = 35 \implies 5x - 25 = 35 \implies 5x = 60 \implies x = 12 \]
Если \( y = -5 \):
\[ x \cdot (-5) - (-5)^2 = 35 \implies -5x - 25 = 35 \implies -5x = 60 \implies x = -12 \]
Шаг 8: Находим |x - y|
Теперь у нас есть пары \( (x, y) = (12, 5) \) и \( (x, y) = (-12, -5) \).
Теперь найдем \( |x - y| \):
Для пары \( (12, 5) \): \[ |12 - 5| = 7 \]
Для пары \( (-12, -5) \): \[ |-12 - (-5)| = |-12 + 5| = |-7| = 7 \]
Ответ
Таким образом, итоговый ответ:
\[ |x - y| = 7 \]
