Из точки М к окружности с центром О проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если угол AOB=60° и MA=1 В ответе запишите найденное значение,…

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим фигуру и основные свойства касательных.

1. Определения:

   • Касательные из одной точки к окружности равны по длине. В нашем случае \( MA = MB = 1 \).
   • Угол \( AOB = 60^\circ \) — это угол между радиусами \( OA \) и \( OB \).

2. Изображение треугольника:

   • Рассмотрим треугольник \( OAB \), где \( O \) — центр окружности, \( A \) и \( B \) — точки касания.

3. Стороны треугольника:

   • По известной длине касательных мы можем записать: \[ OA = OB = r, \quad MA = MB = 1 \]
   • Поскольку \( MA \) и \( MB \) — касательные, то они перпендикулярны радиусам в точках касания \( A \) и \( B \). То есть \( \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ \).

4. Использование теоремы о касательных:

   • По свойству касательных и свойствам треугольника, можем воспользоваться формулой для нахождения стороны \( AB \) треугольника: \[ AB = 2 \times MA \times \sin\left(\frac{AOB}{2}\right) \]
   • Учитывая, что \( MA = 1 \) и \( \angle AOB = 60^\circ \), то: \[ \frac{AOB}{2} = 30^\circ \quad \text{и} \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]

5. Подставляем значения: \[ AB = 2 \times 1 \times \sin(30^\circ) = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 1 \]

6. Умножение на \(\sqrt{3}\):

   • Теперь, согласно условию задачи, нужно умножить найденное значение на \(\sqrt{3}\): \[ AB \times \sqrt{3} = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3} \]

Таким образом, расстояние между точками касания \( A \) и \( B \), умноженное на \(\sqrt{3}\), равно \(\sqrt{3}\).

Ответ: \(\sqrt{3}\)