Класс 8, алгебра, решите уравнение. (3x-5)^2-(2x+1)^2=24

Чтобы решить уравнение \((3x - 5)^2 - (2x + 1)^2 = 24\), давайте следовать пошагово: 1. **Применим разность квадратов.** Запишем уравнение в форме разности квадратов, которая имеет вид \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): - Обозначим \(a = 3x - 5\) и \(b = 2x + 1\). - Тогда у нас получится: \[ (3x - 5 - (2x + 1))(3x - 5 + (2x + 1)) = 24 \] 2. **Упростим выражения в скобках.** - В первой скобке: \[ 3x - 5 - 2x - 1 = x - 6 \] - Во второй скобке: \[ 3x - 5 + 2x + 1 = 5x - 4 \] Теперь наше уравнение выглядит так: \[ (x - 6)(5x - 4) = 24 \] 3. **Разложим уравнение.** Раскроем скобки: \[ x(5x) - 4x - 30 + 24 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 - 4x - 30 + 24 = 0 \] Упрощаем: \[ 5x^2 - 4x - 6 = 0 \] 4. **Решение квадратного уравнения.** Теперь решим уравнение \(5x^2 - 4x - 6 = 0\) с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \(a = 5\), \(b = -4\), \(c = -6\): \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 16 + 120 = 136 \] 5. **Находим корни.** Так как дискриминант положителен, у нас два различных корня: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{136}}{10} \] Упростим \(\sqrt{136}\): \[ \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34} \] Подставляем обратно: \[ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{34}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{34}}{5} \] 6. **Ответ.** Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{34}}{5}, \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{34}}{5} \] Это и есть решение нашего уравнения. Если у вас остались вопросы по шагам решения, не стесняйтесь спрашивать!