бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки их количество равно 19 из которых с повидлом 6 х количество пирожков с повидлом среди случайно выбранных найти дисперсию случайной…
Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки их количество равно 19 из которых с повидлом 6 х количество пирожков с повидлом среди случайно выбранных найти дисперсию случайной величины х
Для решения данной задачи нам необходимо понять, что такое дисперсия случайной величины и как её рассчитать.
Задача
У нас есть 19 пирожков, из которых 6 — с повидлом. Значит, 13 пирожков — без повидла. Нам нужно найти дисперсию случайной величины \( X \), которая представляет количество пирожков с повидлом среди случайно выбранных пирожков.
Подход к решению
Определение случайной величины: Обозначим случайную величину \( X \) как количество пирожков с повидлом среди \( n \) случайно выбранных пирожков.
Вероятности: Нам необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный пирожок окажется с повидлом. Поскольку 6 из 19 пирожков с повидлом, то: \[ P(X = 1) = \frac{6}{19} \] и \[ P(X = 0) = \frac{13}{19} \] То есть, вероятность того, что случайно выбранный пирожок — без повидла.
Находим математическое ожидание \( E(X) \): Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле: \[ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) \] Здесь \( x_i \) — значения случайной величины, а \( P(x_i) \) — соответствующие вероятности.
Для нашего случая: \[ E(X) = 1 \cdot P(X = 1) + 0 \cdot P(X = 0) = 1 \cdot \frac{6}{19} + 0 \cdot \frac{13}{19} = \frac{6}{19} \]
Находим дисперсию \( \text{Var}(X) \): Дисперсия рассчитывается по формуле: \[ \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала найдём \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i) \] Здесь \( x_i^2 \) — значения \( x_i \) в квадрате: \[ E(X^2) = 1^2 \cdot P(X = 1) + 0^2 \cdot P(X = 0) = 1 \cdot \frac{6}{19} + 0 \cdot \frac{13}{19} = \frac{6}{19} \]
Теперь подставим значения в формулу для дисперсии: \[ \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{6}{19} - \left(\frac{6}{19}\right)^2 \]
Посчитаем: \[ E(X)^2 = \left(\frac{6}{19}\right)^2 = \frac{36}{361} \]
Теперь подставим: \[ \text{Var}(X) = \frac{6}{19} - \frac{36}{361} \]
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю: \[ \frac{6}{19} = \frac{114}{361} \quad \text{(приводим к 361)} \]
Теперь выполняем вычитание: \[ \text{Var}(X) = \frac{114}{361} - \frac{36}{361} = \frac{78}{361} \]
Ответ
Дисперсия случайной величины \( X \) равна \( \frac{78}{361} \).
Эта величина показывает, насколько различно распределены случайные значения \( X \) — то есть, сколько пирожков с повидлом можно ожидать среди случайно выбранных, и насколько это количество может колебаться в среднем.
