Вася и Юра играют в следующую игру. На листе бумаги нарисовано 16 точек, за 1 ход можно вычеркнуть 1, 2 или 3 точки. Игроки делают ходы по очереди, Юра ходит первым. Тот, кому нечего вычёркивать, считается проигравшим. Кто может выиграть, как бы ни действовал его соперник?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. В игре, о которой идет речь, есть 16 точек, и два игрока (Юра и Вася) по очереди вычеркивают от 1 до 3 точек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход, т.е. когда осталось 0 точек. ### Шаг 1: Определение выигрышных и проигрышных позиций Во-первых, давайте определим, что такое выигрышные и проигрышные позиции: - **Выигрышная позиция:** это состояние, из которого игрок может заставить соперника попасть в проигрышную позицию, независимо от следующих ходов соперника. - **Проигрышная позиция:** это состояние, в котором любой возможный ход игрока приведет его к выигрышной позиции соперника. ### Шаг 2: Анализ позиции с меньшим количеством точек Сначала рассмотрим базовые ситуации: 1. **0 точек:** Проигрышная позиция (игрок не может сделать ход). 2. **1 точка:** Выигрышная позиция (можно убрать 1 точку и оставить 0 для соперника). 3. **2 точки:** Выигрышная позиция (можно убрать 2 точки и оставить 0 для соперника). 4. **3 точки:** Выигрышная позиция (можно убрать 3 точки и оставить 0 для соперника). 5. **4 точки:** Проигрышная позиция (независимо от выбора, 1, 2 или 3 точки, соперник окажется в выигрышной позиции). Теперь заметим закономерность: - Если осталось 0, 4, 8, 12 точки — это проигрышные позиции (игрок, который сейчас находит в этих позициях, не может гарантировать себе победу, если соперник будет играть оптимально). - Если количество точек после хода станет 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15 — это выигрышные позиции. ### Шаг 3: Анализ исходной позиции Сейчас у нас 16 точек. Если Юра начинает и убирает 1, 2 или 3 точки, он может дойти до: - **16 - 1 = 15 (выигрышная позиция для Васи)** - **16 - 2 = 14 (выигрышная позиция для Васи)** - **16 - 3 = 13 (выигрышная позиция для Васи)** Каждый из этих ходов отправляет Васю в выигрышную позицию, что означает, что Юра не может заставить Васю проиграть. ### Шаг 4: Итог Поскольку Юра (игрок 1) начинает с 16 точками и, как мы выяснили, после любого из его ходов, он не может избежать передачи новой выигрышной позиции (15, 14 или 13) своему сопернику, то Вася всегда сможет выиграть при оптимальной игре. ### Ответ: Вася может выиграть, если будет играть оптимально, независимо от того, как будет действовать Юра.