Прямоугольный треугольник со сторонами 15 см и 8 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности конуса (число π ≈ 3)

Для решения данной задачи нам нужно понять, что происходит, когда прямоугольный треугольник вращается вокруг меньшей стороны. В нашем случае меньшая сторона равна 8 см. В результате вращения образуется конус. Давайте разберёмся по шагам: 1. **Определяем размеры конуса**: - Высота конуса (h) будет равна длине меньшей стороны треугольника, т.е. 8 см. - Радиус основания конуса (r) будет равен длине большей стороны треугольника. Мы можем найти её с помощью теоремы Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \(a = 8\) см и \(b = 15\) см. Таким образом: \[ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ см} \] Итак, радиус основания конуса равен 15 см. 2. **Находим полную поверхность конуса**: Полная поверхность конуса \(S\) состоит из площади основания и площади боковой поверхности: \[ S = S_{основания} + S_{боковой} \] Площадь основания можно вычислить по формуле: \[ S_{основания} = \pi r^2 \] Подставляем радиус: \[ S_{основания} = \pi \cdot (15)^2 = \pi \cdot 225 = 225\pi \] Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: \[ S_{боковой} = \pi r l \] где \(l\) — это образующая конуса. Она равна длине гипотенузы треугольника, которую мы уже нашли (17 см): \[ S_{боковой} = \pi \cdot 15 \cdot 17 = 255\pi \] 3. **Складываем площади**: Теперь можно найти полную поверхность конуса: \[ S = S_{основания} + S_{боковой} = 225\pi + 255\pi = 480\pi \] 4. **Подставляем значение \(\pi\)**: Если взять \(\pi \approx 3\): \[ S \approx 480 \cdot 3 = 1440 \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь полной поверхности конуса, образованного вращением треугольника вокруг меньшей стороны, составляет приблизительно 1440 см².