Прямоугольный треугольник со сторонами 15 см и 8 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности конуса (число π ≈ 3)
Для решения данной задачи нам нужно понять, что происходит, когда прямоугольный треугольник вращается вокруг меньшей стороны. В нашем случае меньшая сторона равна 8 см. В результате вращения образуется конус.
Давайте разберёмся по шагам:
Определяем размеры конуса:
Высота конуса (h) будет равна длине меньшей стороны треугольника, т.е. 8 см.
Радиус основания конуса (r) будет равен длине большей стороны треугольника. Мы можем найти её с помощью теоремы Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
где \(a = 8\) см и \(b = 15\) см. Таким образом:
\[ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ см} \]
Итак, радиус основания конуса равен 15 см.
Находим полную поверхность конуса: Полная поверхность конуса \(S\) состоит из площади основания и площади боковой поверхности:
\[ S = S_{основания} + S_{боковой} \]
Площадь основания можно вычислить по формуле:
\[ S_{основания} = \pi r^2 \]
Подставляем радиус:
\[ S_{основания} = \pi \cdot (15)^2 = \pi \cdot 225 = 225\pi \]
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:
\[ S_{боковой} = \pi r l \]
где \(l\) — это образующая конуса. Она равна длине гипотенузы треугольника, которую мы уже нашли (17 см):
\[ S_{боковой} = \pi \cdot 15 \cdot 17 = 255\pi \]
Складываем площади: Теперь можно найти полную поверхность конуса:
\[ S = S_{основания} + S_{боковой} = 225\pi + 255\pi = 480\pi \]
Подставляем значение \(\pi\): Если взять \(\pi \approx 3\):
\[ S \approx 480 \cdot 3 = 1440 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь полной поверхности конуса, образованного вращением треугольника вокруг меньшей стороны, составляет приблизительно 1440 см².
