y=x²-x-6

Чтобы понять задачу \( y = x^2 - x - 6 \), давайте разберем её пошагово.

Шаг 1: Определение задачи

Мы имеем квадратное уравнение вида \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 1 \)
• \( b = -1 \)
• \( c = -6 \)

Шаг 2: Нахождение корней

Чтобы выяснить, какие значения \( x \) делают \( y = 0 \) (график пересекает ось \( x \)), нужно решить уравнение: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Для решения этого уравнения воспользуемся дискриминантом. Дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставим наши значения \( a \), \( b \) и \( c \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Шаг 3: Найти корни уравнения

Теперь, когда мы знаем дискриминант, можно найти корни используя формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2} \] Это приведет к двум корням:

1. \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)

Шаг 4: Анализ графика

Теперь, когда мы знаем корни \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \), давайте изучим, как выглядит график функции \( y = x^2 - x - 6 \):

• Это парабола, направленная «вверх», потому что коэффициент \( a = 1 \) положителен.
• Парабола пересекает ось \( x \) в точках \( (3, 0) \) и \( (-2, 0) \).
• Чтобы найти вершину параболы, используем формулу для \( x \)-координаты вершины: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \] Подставляя \( x_v \) обратно в уравнение для нахождения \( y_v \): \[ y_v = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4} \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{25}{4} \right) \).

Шаг 5: Подведение итогов

Мы нашли:

• Корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \).
• Вершина параболы: \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{25}{4} \right) \).

Теперь у вас есть полное представление о графике функции \( y = x^2 - x - 6 \) и её характеристиках! Если есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другой задачей, не стесняйтесь спрашивать!