X1=0,17x1+0,27x2-0,13x3-0,11x4-1,42 x2=0,13x1-0,12x2+0,09x3-0,06x4+0,48 x3=0,11x1+0,05x2-0,02x3+0,12x4-2,34 x4=0,13x1+0,18x2+0,24x3+0,43x4+0,72 Метод зейделя

Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью метода Зейделя, давайте сначала перепишем данную систему в более удобной форме для итерационного метода. У нас есть 4 уравнения: 1. \( x_1 = 0.17x_1 + 0.27x_2 - 0.13x_3 - 0.11x_4 - 1.42 \) 2. \( x_2 = 0.13x_1 - 0.12x_2 + 0.09x_3 - 0.06x_4 + 0.48 \) 3. \( x_3 = 0.11x_1 + 0.05x_2 - 0.02x_3 + 0.12x_4 - 2.34 \) 4. \( x_4 = 0.13x_1 + 0.18x_2 + 0.24x_3 + 0.43x_4 + 0.72 \) Для применения метода Зейделя необходимо выразить каждую переменную через остальные. После этого мы можем итеративно находить значения переменных. Перепишем систему: 1. \( x_1 = \frac{-1.42 - 0.27x_2 + 0.13x_3 + 0.11x_4}{(1 - 0.17)} \) 2. \( x_2 = \frac{0.48 - 0.13x_1 + 0.12x_2 - 0.09x_3 + 0.06x_4}{(1 + 0.12)} \) 3. \( x_3 = \frac{-2.34 - 0.11x_1 - 0.05x_2 - 0.12x_4}{(1 + 0.02)} \) 4. \( x_4 = \frac{0.72 - 0.13x_1 - 0.18x_2 - 0.24x_3}{(1 - 0.43)} \) Теперь выразим каждую переменную: 1. \( x_1 = -1.42 - 0.27x_2 + 0.13x_3 + 0.11x_4 \) 2. \( x_2 = 0.48 + 0.13x_1 - 0.09x_3 + 0.06x_4 \) 3. \( x_3 = -2.34 - 0.11x_1 - 0.05x_2 + 0.12x_4 \) 4. \( x_4 = \frac{0.72 - 0.13x_1 - 0.18x_2 - 0.24x_3}{0.57} \) ### Шаги решения: 1. **Начальные условия:** Выберем начальные значения для \( x_1, x_2, x_3, x_4 \). Обычно берут 0: - \( x_1^{(0)} = 0 \) - \( x_2^{(0)} = 0 \) - \( x_3^{(0)} = 0 \) - \( x_4^{(0)} = 0 \) 2. **Итерации**: Теперь будем подставлять полученные значения в формулы для нахождения новых значений. **Первая итерация:** 1. \( x_1^{(1)} = -1.42 - 0.27(0) + 0.13(0) + 0.11(0) = -1.42 \) 2. \( x_2^{(1)} = 0.48 + 0.13(-1.42) - 0.09(0) + 0.06(0) = 0.48 - 0.1846 = 0.2954 \) 3. \( x_3^{(1)} = -2.34 - 0.11(-1.42) - 0.05(0.2954) + 0.12(0) = -2.34 + 0.1562 - 0.01477 = -2.19857 \) 4. \( x_4^{(1)} = \frac{0.72 - 0.13(-1.42) - 0.18(0.2954) - 0.24(0)}{0.57} = \frac{0.72 + 0.1846 - 0.053172}{0.57} = \frac{0.85143}{0.57} \approx 1.4913 \) Теперь подставим найденные значения снова: **Вторая итерация:** 1. \( x_1^{(2)} = -1.42 - 0.27(0.2954) + 0.13(-2.19857) + 0.11(1.4913) \) 2. \( x_2^{(2)} = 0.48 + 0.13(-1.42) - 0.09(-2.19857) + 0.06(1.4913) \) 3. \( x_3^{(2)} = -2.34 - 0.11(-1.42) - 0.05(0.2954) + 0.12(1.4913) \) 4. \( x_4^{(2)} = \frac{0.72 - 0.13(-1.42) - 0.18(0.2954) - 0.24(-2.19857)}{0.57} \) И так продолжаем, пока разность между значениями переменных не станет достаточно малой (например, меньше 0.001). ### Проверка сходимости Метод Зейделя имеет хорошую сходимость, если матрица коэффициентов является строго диагонально доминирующей, то есть для каждого уравнения модуль диагонального элемента больше суммы модулей остальных элементов в строке. ### Вывод Таким образом, вы можете продолжать итерации до тех пор, пока не достигнете желаемой точности. Удачи в решении! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!