Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: y=x2, y =0, x=-3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2\), \(y = 0\) и \(x = -3\), следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение границ области

1. Мы имеем параболу \(y = x^2\), которая открыта вверх.
2. Линия \(y = 0\) — это ось абсцисс (горизонтальная линия).
3. Линия \(x = -3\) — это вертикальная линия, которая ограничивает область слева.

Так как парабола пересекает ось абсцисс в точке \(x = 0\) и \(x = 0\) (точка 0 является важной для определения границ), мы можем рассмотреть область, расположенную между \(x = -3\) и \(x = 0\).

Шаг 2: Вычисление площади

Площадь фигуры между параболой и осью абсцисс можно найти, используя интеграл. Площадь \(A\) от линии \(y = x^2\) до \(y = 0\) от \(x = -3\) до \(x = 0\):

\[ A = \int_{-3}^{0} (x^2 - 0) \, dx = \int_{-3}^{0} x^2 \, dx \]

Шаг 3: Вычисление интеграла

1. Находим неопределенный интеграл функции \(x^2\): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

2. Подставляем пределы интегрирования: \[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{0} \] \[ A = \left( \frac{0^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} \right) \] \[ A = \left( 0 - \frac{-27}{3} \right) \] \[ A = 0 + 9 = 9 \]

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет \(9\) квадратных единиц.

Итоговое объяснение

Мы использовали интегралы для нахождения площади под кривой \(y = x^2\) от \(x = -3\) до \(x = 0\). Парабола поднимается над осью \(x\), и ограниченная область находится между этой кривой и осью \(x\). Вычисление интеграла дало нам нужную площадь.

Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите разобрать более сложные задачи, не стесняйтесь спрашивать!