Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника и формулой для длины медианы.
Шаг 1: Понять, что такое медиана
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В прямоугольном равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, распределяет треугольник на два равных меньших треугольника.
Шаг 2: Связь медианы с длиной стороны
Для равнобедренного прямоугольного треугольника, где длина сторон равна ( a ) (катеты), длина гипотенозы ( c ) выражается формулой:
[
c = a\sqrt{2}
]
Медиана ( m ), проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, может быть найдена по формуле:
[
m = \frac{1}{2}c \sqrt{2}
]
Где ( m ) — длина медианы, а ( c ) — длина гипотенузы.
Шаг 3: Подставить известные значения
У нас есть длина медианы ( m = 12 ) см. Подставим это значение в формулу:
[
12 = \frac{1}{2}c \sqrt{2}
]
Умножим обе стороны на 2:
[
24 = c \sqrt{2}
]
Теперь разделим обе стороны на ( \sqrt{2} ):
[
c = \frac{24}{\sqrt{2}} = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}
]
Шаг 4: Окончательный ответ
Теперь можем вычислить длину гипотенузы. Приблизительное значение ( \sqrt{2} \approx 1.414 ), поэтому:
[
c \approx 12 \cdot 1.414 \approx 16.97 , \text{см}
]
Однако в ответе лучше оставить и точное значение:
[
c = 12\sqrt{2} , \text{см}
]
Таким образом, длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника составляет ( 12\sqrt{2} ) см.
