из партии бюллетеней, доставленных с 3 избирательных участка, эксперт отбирает только действительное бюллетени. вероятность того, что бюллетень с первого участка окажется действительным, равна 0,95 , со второго - 0,9, с третьего - 0,85. найдите вероятность того, что из трёх выбранных бюллетеней(по одному с каждого участка) только 2 действительных.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для вероятности событий и концепцию биномиального распределения.
### Шаг 1: Определение вероятностей
1. Вероятность того, что бюллетень с первого участка окажется действительным: \( P_1 = 0,95 \)
2. Вероятность того, что бюллетень со второго участка окажется действительным: \( P_2 = 0,9 \)
3. Вероятность того, что бюллетень с третьего участка окажется действительным: \( P_3 = 0,85 \)
Следовательно, вероятность того, что бюллетень с первого, второго и третьего участка будет недействительным:
- Первый участок: \( Q_1 = 1 - P_1 = 0,05 \)
- Второй участок: \( Q_2 = 1 - P_2 = 0,1 \)
- Третий участок: \( Q_3 = 1 - P_3 = 0,15 \)
### Шаг 2: Формирование возможных вариантов
Мы хотим найти вероятность того, что из трёх бюллетеней только два являются действительными. Это может произойти в следующих случаях:
1. Действительный бюллетень с первого участка и действительный с второго, недействительный с третьего.
2. Действительный бюллетень с первого участка и недействительный с второго, действительный с третьего.
3. Недействительный бюллетень с первого участка, действительный с второго и действительный с третьего.
### Шаг 3: Расчет вероятностей
Теперь рассчитываем вероятность каждого из этих случаев:
1. **Случай 1:** ДДН (действительный, действительный, недействительный)
\[
P(ДДН) = P_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,95 \cdot 0,9 \cdot 0,15
\]
\[
P(ДДН) = 0,95 \cdot 0,9 \cdot 0,15 = 0,12825
\]
2. **Случай 2:** ДНД (действительный, недействительный, действительный)
\[
P(ДНД) = P_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,95 \cdot 0,1 \cdot 0,85
\]
\[
P(ДНД) = 0,95 \cdot 0,1 \cdot 0,85 = 0,08075
\]
3. **Случай 3:** НДД (недействительный, действительный, действительный)
\[
P(НДД) = Q_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,05 \cdot 0,9 \cdot 0,85
\]
\[
P(НДД) = 0,05 \cdot 0,9 \cdot 0,85 = 0,03825
\]
### Шаг 4: Итоговая вероятность
Теперь складываем все вероятности:
\[
P(\text{только 2 действительных}) = P(ДДН) + P(ДНД) + P(НДД)
\]
\[
= 0,12825 + 0,08075 + 0,03825 = 0,24725
\]
### Ответ
Вероятность того, что из трех выбранных бюллетеней только 2 будут действительными, равна **0,24725** или **24,725%**.
